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★ ピタゴラスの原理だと思いますが・・ / 貧乏学生
教えて下さい。

ある中学受験の算数の問題の一つで、僕は高校１年生ですが
ということは、この問題を小学生が解くということでいとこが聞いてきたのですが、わかりません。

すぐに、ピタゴラスだと感じましたが、又小学生は、Sin,Cos・・・なども習ってないだろうし。
小学生の知っている知識で解くとなると
どのように解くのですか？教えて下さい。

５ｃｍ、４ｃｍ、３ｃｍの三角形です。
これらは、ピタゴラスだったら、２乗で
１６＋９＝２５を利用すると思っても
どこを利用すればいいのかわかりません
年上で恥ずかしいですが、教えて下さい。

問題は、
?@ＡＤを結んだ直線は何ｃｍ
?AＢＣを結んだ直線は何ｃｍ

どちらも直線は何ｃｍですかという問題です。
教えて下さい。
No.4914 - 2009/01/28(Wed) 11:54:43
☆ Re: ピタゴラスの原理だと思いますが・・ / ヨッシー
一番高い位置にある頂点が、Ａというのは読み取れます。
一番下はＤでしょうか？
左に突き出しているのが、ＢとＣですか？
No.4916 - 2009/01/28(Wed) 15:02:56
☆ Re: ピタゴラスの原理だと思いますが・・ / ju__
（1/23）の灘中学入試問題（算数２日目）の問題５だそうです。
(1)　9.6
(2)　3.52

【一例です】図を見ながら確認してみてください。

(１)右の２つの三角形を赤のように並び変えた図で考えます。
△ＰＡＢについて
?@ＰＡ＝ＰＢ＝4×2＝8cmで、{Ｑ，Ｒ}は{ＰＡ，ＰＢの中点になります。
…つまり、ＡＢはＱＲの2倍になります。
?A四角形ＰＱＲＯ＝12c?u、ＰＯ＝5cm，ＰＯ⊥ＱＲから、ＱＲ＝(24/5)＝4.8cm
…よって、ＡＢ＝4.8×2＝9.6cm

(2)次の２つの三角形を青のように並び替えた図で考えます。
?@△ＯＡＢと△ＯＥＦを考え、ＯＡ＝5cm，ＯＥ＝3cmで、ＡＢ＝9.6cmから
…ＥＦ＝9.6×(3/5)＝5.76cm
?A△ＣＧＫと△ＤＨＩの辺ＣＧ，ＤＨの中点がＥ，Ｆであることから
…ＧＩ＝ＩＫ＝ＨＪ＝ＪＬであることを利用します。
まず、ＧＨ＝8cmから、ＥＦ＝5.76cmを引けば、ＧＩ＋ＨＪがでます
…8−5.76＝2.24
さらに、ＧＩ＋ＨＪ＝ＧＩ＋ＩＫ＝ＧＫであり
同様に、ＧＩ＋ＨＪ＝ＨＪ＋ＪＬ＝ＨＬであるので
…ＧＫ＝ＨＬ＝2.24
求めるＣＤが、ＫＬと等しいことから
…ＣＤ＝ＫＬ＝ＧＨ−(ＧＫ＋ＨＬ)＝8−2.24×2＝3.52
No.4921 - 2009/01/28(Wed) 16:33:13
☆ Re: ピタゴラスの原理だと思いますが・・ / ヨッシー

既に、回答がされているので、一応、私の描いた図を載せておきます。
別解というほどでもないので、解説は省略します。
●の角があるのが１問目
○の角があるのが２問目です。
それぞれの等しい角を含む直角三角形の相似を使います。
No.4923 - 2009/01/28(Wed) 17:18:43
☆ Re: ピタゴラスの原理だと思いますが・・ / 貧乏学生
ju＿様、ヨッシー先生。回答有難うございました。
灘中の入試問題だったのですか。
とてもよく分かりました。有難うございました。

ヨッシー先生、僕は小学生は、合同も相似も習ってないので
これを使おうと思ったのですが、迷いました。
投稿させていただく前に。
http://yosshy.sansu.org/sigu1.htm　を
もちろん、見せていただいていました。

どちらも、とても、よく分かりました。
有難うございました。中学入試問題を出来るか
試された、家庭教師でした（苦笑）公立小学校６年生では
無理ですね。低学年からレベルの高い塾にでも
通っていないと。ju_さんの考え方もむりですよね。
学区内の一応１番の公立高校ですがこれを
小学生が解けたのかと思うと自信をなくしました。
しかも２日間もにらんでいました。

スッとしました。本当に、有難うございました。
No.4925 - 2009/01/28(Wed) 20:04:46
★ ベクトル / 紗耶香
こんばんは。どうぞよろしくお願い致します。

△ABCにおいて、辺BCを3:2に内分する点をD、辺BCを1:2に内分する点をE、△ABCの重心をGとする。AB↑=b↑、AC↑=c↑とするとき、次のベクトルをb↑、c↑を用いて表せ。
(1)AD↑
(2)AE↑
(3)AG↑
(4)GE↑
(5)DG↑
(1)はできましたが、(2)から分かりません；すみませんが、どなたか解説をよろしくお願い致します。
No.4913 - 2009/01/27(Tue) 23:48:16
☆ Re: ベクトル / ヨッシー
(1) が出来たなら、(2) は同じ公式なので、出来るでしょう。
(3) は、重心の公式
　ＡＧ＝ＡＡ＋ＡＢ＋ＡＣ
および、ＡＡ＝０、ＡＢ＝ｂ、ＡＣ＝ｃ より。

(4)(5)
一般に、Ａを任意の点とすると、
　ＢＣ＝ＡＣ−ＡＢ
です。ＡＤ、ＡＥ、ＡＧ がそれぞれわかっているので、
求められます。
No.4920 - 2009/01/28(Wed) 15:26:50
★ 教えてください?ｫ / 積分
次の関数F(ｘ)の導関数を求めよ。

(1)F(ｘ)=∫-1(下)ｘ(上)(2t^2-ｘt)

(2)F(ｘ)=∫-3(下)ｘ(上)(e^t＋ｘ)dt
No.4909 - 2009/01/27(Tue) 22:07:54
☆ Re: 教えてください?ｫ / ヨッシー
(1) は F(ｘ)=∫-1x(2t^2-ｘt)dt だとします。
　∫-1x(2t^2-ｘt)＝[2t^3/3-xt^2/2]-1x
　＝2x^3/3-x^3/2+2/3−x/2
　＝x^3/6+2/3−x/2
ｘで微分して、
　F'(x)＝x^2/2−1/2

(2)
　∫-3x(e^t＋ｘ)dt＝[e^t＋xt]-3x
　＝e^x＋x^2−e^(-3)＋3x
ｘで微分して、
　F'(x)＝e^x＋2x＋3
No.4917 - 2009/01/28(Wed) 15:12:39
★ 接線 / あき
連続投稿申し訳ありません！
悪いのですが教えて下さい(>_<)

http://w.upup.be/?8jwNlug3ia
http://q.upup.be/?5IbvkM5TkC
の問題で
エ〜ケの部分がわからなくて、
http://r.upup.be/?kZySZvuhL2
このように解答にはあるんですが、yが等しいまでは理解できたのですがそれからαβがXの二次方程式の解としてこのようにできるのかなぜかわかりません。教えて下さい(>_<)お願い致します(>_<)
No.4906 - 2009/01/27(Tue) 17:17:52
☆ Re: 接線 / 七
例えば
aα^2＋bα＋c＝0，
aβ^2＋bβ＋c＝0 ならば
α，β は
ax^2＋bx＋c＝0 の解です。
No.4907 - 2009/01/27(Tue) 18:23:22
★ 接線 / あき
こんにちは(^ ^)/
質問どうかお願い致します。
http://x.upup.be/?a2FwPebpjx
http://u.upup.be/?5XziSHuje7
の問題で普通円の公式と言うと
x1x＋y1y=a^2
を思い付くと思うんですがこの問題の場合右辺が0なのでどのように考えたらよいのかよく分かりません。
すみませんが教えて下さい(>_<)
No.4903 - 2009/01/27(Tue) 15:28:26
☆ Re: 接線 / angel
まあ、公式に頼るな、ということでしょうね。

まず、ア,イは微分の問題です。
y=( f(x) )^2 を微分すれば、dy/dx=2f'(x)f(x) となるのと同様、x^2 を t で微分すれば、d(x^2)/dt = 2x・dx/dt となります。
結局、x^2+y^2=65^2 の両辺を t で微分すれば、2x・dx/dt+2y・dy/dt=0 ということです。

ウエ, オカ, キク, ケコ は全て同じ値で、円上で x座標16の場合の y座標の値(正のもの)ですね。√(65^2-16^2) を計算します。

サシ, スセ, ソタ は逆パターンで、円上で y座標33の場合の x座標の値(正のもの)です。

ここまでで出てきた計算を行うと、
　円 x^2+y^2=r^2 上の点(p,q)における接線は p(x-p)+q(y-q)=0 ⇔ px+qy=p^2+q^2=r^2 となる
ということで、公式に辿りつくわけではありますが。
No.4904 - 2009/01/27(Tue) 15:47:40
☆ Re: 接線 / angel
この後の展開も含めて考えると、

・円の場合
　x・dx/dt+y・dy/dt=0 ( 2は余分なので取りました )
　→ ベクトル (x,y) と (dx/dt,dy/dt) は垂直
　ところで、ベクトル(dx/dt,dy/dt) は円の接線の方向ベクトルそのもの。つまり、ベクトル(x,y)は法線ベクトル。
　点(p,q) ( p^2+q^2=r^2 ) における接線を考えると、法線ベクトルは(p,q)なので、
　　p(x-p)+q(y-q)=0
　が接線となる。
・楕円の場合
　x^2+ay^2=c の両辺を微分してまとめると、
　x・dx/dt+ay・dy/dt=0
　円の時と同様に考えると、ベクトル (x,ay) は法線ベクトル。
　点(p,q) (p^2+aq^2=c) における接線を考えると、法線ベクトルが(p,aq)のため、
　　p(x-p)+aq(y-q)=0 ⇔ px+aqy=p^2+aq^2=c

楕円 x^2/a^2+y^2/b^2=1 上の点(p,q)における接線は px/a^2+qy/b^2=1 となるのですが、このお話の由来を計算するのが趣旨の問題と言えるでしょう。
※a=b=rの場合、そのまま円の接線の話になります
No.4905 - 2009/01/27(Tue) 15:56:59
☆ Re: 接線 / あき
ありがとうございます。
ただx yの方向ベクトルがdx/dt〜になる
というのがなぜかわかりません！
どうか教えて下さい(>_<)
No.4949 - 2009/01/29(Thu) 17:40:20
☆ Re: 接線 / angel
> ただx yの方向ベクトルがdx/dt〜になる
> というのがなぜかわかりません！

これはそういうものだと思ってください。
どちらかというと物理ですね。

簡単にいうと、
　dy/dt = dx/dt・dy/dx
ですから、
ベクトル (1, dy/dx) と (dx/dt, dy/dt) = dx/dt・(1,dy/dx) は向きが一致するのです。
で、曲線の微分係数=接線の傾き dy/dx に対して、接線の方向ベクトルは (1, dy/dx) ですから、方向ベクトルとして (dx/dt, dy/dt) を採用しても良いわけです。

dx/dt=0, dy/dt≠0 のとき ( 接線が y軸に平行な時 ) はちょっと例外ですが。
No.4957 - 2009/01/30(Fri) 18:43:54
★ 数A：論証 / 高１
a+ｂ、abが整数⇒a,bが整数　の反例が分かりません。
お願いします。
No.4892 - 2009/01/27(Tue) 05:55:37
☆ Re: 数A：論証 / NISSK
a = √2, b = - √2 とすると，
a + b = 0, ab = - 2 で共に整数ですが a, b は整数ではありません．
No.4893 - 2009/01/27(Tue) 06:57:50
★ お願いします?ｫ / 高校1年
ｘは0＜ｘ＜π/2の範囲で考えるものとする。
π/2＜ａ＜3π/4のａを適当にとって，
ｙ=sin^2ｘとｙ=cos(ｘｰａ)のグラフが共有点で共有の接線をもつようにする。このときsinａの値を求めよ。
No.4891 - 2009/01/27(Tue) 01:10:14
☆ Re: お願いします / angel
「y=f(x)とy=g(x)のグラフが共有点で共通の接線を持つ」
ということは、
　f(x)=g(x)
　f'(x)=g'(x)
の両方程式が共通解を持つということ。
その共通解をθ ( 0＜θ＜π/2 ) と置いてあげれば、今回は
　(sinθ)^2 = cos(θ-a)
　2sinθcosθ = -sin(θ-a)
となります。
辺々平方して足してあげれば、
　(sinθ)^4 + 4(sinθ)^2(cosθ)^2 = 1
ここから θ が決定できます。( 実際には sinθ,cosθ の組 )
最終的に a の値が π/2＜a＜3π/4 の範囲に収まることまで調べないと片手落ちになりますので、注意してください。
( つまり、sina, cosa の値を両方調べる必要があるということ )
No.4895 - 2009/01/27(Tue) 12:31:00
★ 確率（格子点がらみ） / Jez-z
番号1,2,…nのついた札が、袋Ａにはそれぞれ一枚ずつ、袋Ｂにはそれぞれ2枚ずつ入っている。ただしn≧2とする
(1)袋Aから札を2枚取り出すとき、その２枚の札の番号の和がnより大きい確率を求めよ。
(2)袋Bから札を2枚取り出すとき、その2枚の札の番号の和がnより大きい確率を求めよ。

初めに質問内容を書きますと、
?@(1)は格子点の問題に帰着させて解くことができました。ところが、別解を作ってみたところ、なぜか答が一致しなかったため、その原因を客観的に指摘・修正してほしいという点

?A(2)も同様に格子点で考えたところ、何度計算をやり直しても答が一致しなかったため、自分なりの分析を経たうえで、考え方に問題があった可能性が高いという結論に至りました。そこで、（２）に関してはできれば解説に格子点の領域を図示してほしいのですが…（ずうずうしくてすいません）

以下に?@でいう「別解」を書きます
２枚の札の取り出し方はnC2通り
求める場合の数はa+b>n(ただし、a,bはとりだした２数でa<bとする）を満たす(a,b)の組の個数
まず、aを固定するとbはa+b≧n+1⇔b≧n-a+1を満たしかつ
b≦nよりn-a+1≦b≦nのa（枚）存在する。
つまり、この場合の個数は
aを1≦a≦n-1で動かせばよいので
1/2n(n-1) (個）

よって求める確率は{1/2n(n-1)}÷nC2

長くなりましたが、以上の?@、?Aの２つの質問についての回答をお待ちしております。
No.4889 - 2009/01/27(Tue) 00:05:41
☆ Re: 確率（格子点がらみ） / angel
格子点というか、マトリクス(表)ですね。
それは良い考えだと思います。
さて、(2)よりも(1)の方が面倒だと気付いているでしょうか。

先に丸1の問題点を指摘しますと、設定した条件 a<b を忘れているところです。
つまり、「n-a+1≦b≦n の a(枚)」とは単純に行かないのです。
敢えて書けば、max(n-a+1,a+1)≦b≦n ということになりますが、a の値に応じて場合わけが必要ですし、n の偶奇によっても変わります。( ガウス記号を使えば、偶奇による場合わけは不要ですが )

で、マトリクスを使うとなぜ良いか、というと、勿論見易いことが一番なのですが、1枚目・2枚目の大小関係を考えず、対等に扱える所だと思います。
添付図 ( n=4,5 の例 ) 中、表内の各セルは、灰色の所を除き、全て同確率です。その中で、和が n より大きいのは黄色の所となります。

そうすると、(2) は n の偶奇を考える必要がなく、答えはそのまま (n+1)/(2n) です。
(1) は、全体 n(n-1) の中で、黄色は n(n-1)/2+[n/2] ( nが偶数の時 n(n-1)/2+n/2、nが奇数の時 n(n-1)/2+(n-1)/2 ) ですから、答えは 1/2+[n/2]/n(n-1) ( nが偶数の時 n/(2(n-1))、nが奇数の時 (n+1)/(2n) ) となります。
No.4896 - 2009/01/27(Tue) 13:17:54
☆ Re: 確率（格子点がらみ） / ToDa
要点はangel氏のご回答が的確で明快かと思いますが、少し注意が必要です。以下の例をご覧ください。

---

n=2のとき。カードに1a,1b,2a,2bと区別をつけてみる。
　|1a|1b|2a|2b|
--+--+--+--+--+
1a|＼|×|○|○|
--+--+--+--+--+
1b|×|＼|○|○|
--+--+--+--+--+
2a|○|○|＼|○|
--+--+--+--+--+
2b|○|○|○|＼|
--+--+--+--+--+

確率：10/12=5/6(≠(2+1)/(2*2))

という感じで。
No.4910 - 2009/01/27(Tue) 22:11:54
☆ Re: 確率（格子点がらみ） / Jez-z
(2)の解答が
nが奇数のとき
(n+1)/2n

nが偶数のとき
(2n+1)/2(2n-1)

とあるのですが…

それと、自分は組み合わせで考えたのですが、そうすると、
「1枚目・2枚目の大小関係を考えず、対等に扱え」ないので、最適な解法とは言えないのでしょうか？
お願いします
No.4911 - 2009/01/27(Tue) 23:16:02
☆ Re: 確率（格子点がらみ） / angel
最初にお詫びと訂正です。
(2)は単純ではなかったですね。(1)と同じくらい面倒でした。
「セルが全て同確率」というのが誤りです。
同じ数のペアに対し、異なる数のペアは確率が2倍になります。
※1枚目・2枚目が逆の分も考えると、(a,a)の組み合わせに対し、(a,b)の組み合わせとなる確率は4倍になります。

新しく添付した図中、水色および緑色は同じ数の組み合わせであり、それ以外は確率2倍のセルとなります。
そして、合計nより大なのが黄色および緑色の所です。

そのため、
全体：2・n(n-1)+1・n=n(2n-1)
nより大：2・( 1/2・n(n-1)+[n/2] ) + 1・(n-[n/2]) = n^2+[n/2]
　( 偶数の時 n^2+n/2、奇数の時 n^2+(n-1)/2 )
確率：(n^2+[n/2])/n(2n-1)
　( 偶数の時 (2n+1)/( 2(2n-1) )、奇数の時 (n+1)/(2n) )

が正しくなります。
申し訳ありませんでした。
No.4915 - 2009/01/28(Wed) 13:00:18
☆ Re: 確率（格子点がらみ） / angel
> 最適な解法とは言えないのでしょうか？

何が最適かはわかりませんが、次の点からして、私の考えた解の方が分かりやすいと思いました。
※そっちの方が投稿しやすいですし

1. 「組み合わせ」をベースで考えると、a<b というような前提を入れざるをえないため、計算がややこしくなる。
　実際、Jez-zさんは a<b を扱う部分をミスしてしまいましたし。
2. まず表で考えれば、後から組み合わせベースに移行することはできる。( 表の上半分だけで考えれば良い )
　しかし、逆は難しい。

確率は、あくまで等確率な事象を元に考えれば良いので、組み合わせか順列かといったことに拘る必要はないのです。
ならば、受け(選択肢)が広い方がオトクです。

勿論、引き出しは沢山あった方が良いので、Jez-zさんの方法でも解けるのが望ましいと思います。何がより良いかは自身で煮詰めていくものかと思います。
No.4930 - 2009/01/29(Thu) 00:32:16
☆ Re: 確率（格子点がらみ） / Jez-z
わかりました。自分でもいろいろと研究したいと思います。特に確率の問題では。
No.4960 - 2009/01/30(Fri) 19:28:36
★ 初めまして / 祐 高3
考えたのですが、手も足もでないので御願いします。

p,qを正の実数とする。xの方程式log10(px)･log10(qx)+1=0が1よりも大きい解をもつとき、点(log10p,log10q)の存在する範囲を座標平面上に図示せよ。

log10は底が10という意味です。
No.4887 - 2009/01/26(Mon) 20:01:10
☆ Re: 初めまして / rtz
log10px・log10qx＋1＝0でxが1より大きい解を持つ
⇔t2＋(X＋Y)t＋(XY＋1)＝0でt＝log10xが0より大きい解を持つ
(X＝log10p、Y＝log10q)
⇔[ D≧0 かつ y＝f(t)の軸t＝−(1/2)(X＋Y)≧0 かつ f(0)≧0 (ただしX＋Y＝XY＋1＝0を除く)] または [ f(0)＜0 ]
(f(t)＝t2＋(X＋Y)t＋(XY＋1)＝{t＋(1/2)(X＋Y)}2＋1−(1/4)(X−Y)2として、f(t)＝0の判別式D＝(X−Y)2−4)
⇔…
No.4890 - 2009/01/27(Tue) 00:12:18
★ (No Subject) / かなみ
xy平面上に原点を中心とする楕円Eがある。その長軸はx軸上にあり、長さ2a、短軸は長さ2bである(a＞b)。
E上の3点A(-a,0)、B(0,-b)、P(p,q)が作る△ABPの辺ABを底辺とする時の高さをp,qで表すと【ア】であるから、△ABPの面積をSとすると、S=【イ】である。したがって、Sは(p,q)=(【ウ】,【エ】)のときに最大であり、最大値は【オ】である。

直線ABはbx+ay+b=0だということと
点と直線の距離の公式で点Pから直線ABまでの距離は
|bp+aq+b|/√(a^2+b^2)
だということまで分るのですが、高さをp,qで表すのが分りません。
その後もよく分らないので、教えて下さい。
No.4886 - 2009/01/26(Mon) 19:56:17
☆ Re: / angel
先に指摘しますと、直線ABは bx+ay+ab=0 です。
そのため、AB・P間の距離は |bp+aq+ab|/√(a^2+b^2) です。

ここまで分かっていれば、これはそのまま「高さ」です。
つまり
　S=1/2×AB×(AB・P間の距離)
　S=1/2×AB×(ABを底辺とした時の△ABPの高さ)
この2つの表現は同等なのです。

後は、S を最大にする p,q をどう求めるか、です。
添付の図にあるように、「ABに平行な直線と楕円の接点がPとなる時、S最大」と考えます。( 接点となるのは2箇所ですが、一方はハズレです )

ABに平行でPを通る直線は、bx+ay=bp+aq ですから、これと楕円が接する、と考えるなら、
　bx+ay=bp+aq
　x^2/a^2+y^2/b^2=1
の連立方程式が重解を持つ、という攻め方になります。

逆に、P上の接線が px/a^2+qy/b^2=1 となることを利用すれば、px/a^2+qy/b^2=1 と AB：bx+ay+ab=0 が平行と考えて、
　p/a^2・a = q/b^2・b
　p^2/a^2+q^2/b^2 = 1 ( ∵(p,q)は楕円上にあるから )
という方程式を解いても良いです。

どちらでも結果は同じです。
No.4900 - 2009/01/27(Tue) 14:04:59
☆ Re: / angel
申し訳ありません。
添付した図で、Bの位置が逆でした。本来は x 軸より下になります。上下逆として考えていただければ、と思います。

さて、余談ですが、楕円 x^2/a^2+y^2/b^2=1 というのは、円 x^2+y^2=1 を、x軸方向にa倍、y軸方向にb倍した図形です。

であれば、添付の図を x軸方向に a倍、y軸方向に b倍した状況、というのが、本問題での「S最大」の状況です。
※拡大して円が楕円になっても、「接している」等の状況は変わらないため。
a倍、b倍により、面積は ab倍になりますので、(p,q)=(√2/2・a, √2/2・b) の時 Sは最大値 (1+√2)/2・ab を取るということが分かります。
答え合わせに使えますね。
No.4902 - 2009/01/27(Tue) 14:51:11
★ (No Subject) / kasimu
初項1、公比a/3の無限等比級数が収束するようなaの値を求めよ。また、そのとき、和Sのとりうる値の範囲を求めよ。という問題で、aの範囲はわかるのですが、和Sの範囲がよくわかりません。どうやって解くのかおしえてください。
ちなみに答えはS>1/2になります。
No.4884 - 2009/01/26(Mon) 19:26:04
☆ Re: / NISSK
a の範囲は |a| ＜ 3 ですよね。
またこの無限等比級数の和は
　　S = ??n=1∞ (a/3)n-1
　　　= 1/(1 - a/3) = 3/(3 - a)
ですから，
　　|a| ＜ 3 のとき，S = 3/(3 - a) の取り得る範囲を求めよ
という問題に帰着します．
No.4888 - 2009/01/26(Mon) 20:07:40
★ (No Subject) / oka
∫[1/2,1］{log(1+x)}/x dx≧log(1+1/2)∫[1/2,1]dx
という不等式は成り立つようなのですが、
どうして成り立つのかわかりません。
どなたか考え方を教えてください。
よろしくお願いします。
No.4875 - 2009/01/25(Sun) 22:39:29
☆ Re: / NISSK
1/2 ≦ x ≦ 1 において，
　　log(1 + x) ≧ log(1 + 1/2)
　　1/x ≧ 1
となります．
よって，
　　log(1 + x)/x ≧ log(1/2+ 1)・1 = log(1 + 1/2)
となります．
No.4877 - 2009/01/26(Mon) 09:50:33
★ 公式について / とん
微分の公式についてですが
（log|x|)'=1/x
というのがありますが左辺のｘですが絶対値
をつけなくても、この部分がマイナスになることは
ないと思いますがナゼ絶対値をつける必要があるので
しょうか？初歩的な質問かもしれませんが宜しく
お願いします。
No.4860 - 2009/01/25(Sun) 18:55:07
☆ Re: 公式について / 七
xが負の数のときは
絶対値が必要です。
No.4861 - 2009/01/25(Sun) 19:05:39
☆ Re: 公式について / とん
何度もすいません。
y=e^x
のとき
logy=xとなりますよね
ここでｙの値はｘがどんな数でも
負になることはないのではないでしょうか？
No.4863 - 2009/01/25(Sun) 19:24:59
☆ Re: 公式について / 七
そうですよ
No.4864 - 2009/01/25(Sun) 19:31:07
☆ Re: 公式について / とん
そこでyが負にならないのだったら
log｜ｙ｜というように
絶対値をつける必要がないのでは
ないと思っていますが、どうして
絶対が必要なのでしょうか？
No.4865 - 2009/01/25(Sun) 19:57:16
☆ Re: 公式について / 七
それは全く関係ありません。
No.4868 - 2009/01/25(Sun) 20:12:52
☆ Re: 公式について / 七
y＝log|x|
のグラフがどういう形になるか分かりますか？
No.4869 - 2009/01/25(Sun) 20:27:32
☆ Re: 公式について / とん
何度もすいません。
ｙ＝logx
のグラフは分かりますが
絶対値がついたときのグラフは
分かりません。
No.4870 - 2009/01/25(Sun) 20:34:59
☆ Re: 公式について / 七
ｙ＝logx
のグラフと
それをy軸について対称移動したもの
をあわせてものが
ｙ＝log|x|
のグラフです。
No.4871 - 2009/01/25(Sun) 20:51:34
☆ ありがとうございます / とん
七さん
何度もありがとうございました。
納得いたしました。
グラフ自体が違うのですね。

　　　　　　　　　　　　　とん
No.4872 - 2009/01/25(Sun) 20:55:33
★ 微分 / cats
x^xの微分を教えてください。
No.4859 - 2009/01/25(Sun) 18:52:58
☆ Re: 微分 / 七
y＝x^x とおくと
logy＝logx^x＝xlogx
両辺をxについて微分して
(1/y)･(dy/dx)＝logx＋1
dy/dx＝y(logx＋1)＝x^x(logx＋1)
No.4862 - 2009/01/25(Sun) 19:21:06
★ (No Subject) / Yes。Wecan
142857+142857=285714 　　　　　　　　　　　　　　　 285714+142857=428571
428571+142857=571428
:
:
14257の倍数で倍数x＞７のとき、
　　１４２８５７が壊れない？
　　わースゴイ・・・！？
　　　
　　ちなみに
　　142857×7=999999
142857×8=1142856
142857×9=1285713
とX＞７のときも頭と尻を足せば１４２８５７は壊れないんですよ〜。
　　でも何故だか分かりません
　　教えてください　　
No.4857 - 2009/01/25(Sun) 18:00:44
☆ Re: / ヨッシー
8以上の、頭と尻を足せば、というところは、
142857×7=999999=1000000-1
である事を考慮すれば説明がつきます。

よって、かける数が1〜6の時に、142857 の並べ換えの
答えになることを説明すれば良いわけですが、
1÷7=0.142857 142857 ...
であることを利用すれば、説明がつきます。
No.4879 - 2009/01/26(Mon) 17:04:38
★ (No Subject) / Kay(高1女子)
小問が（１）〜（３）まである記述型の大問では、（１）→（２）→（３）の順序で答案を作成しなければなりませんか。
具体的には次の問題です。

［問題］
互いに平行な3本の直線ｓ、ｔ、ｕ上に、それぞれ点Ａ、Ｂ、Ｃを取り、△ＡＢＣが正三角形になるようにします。２点Ａ、Ｂから直線ｔへ垂線を下ろし、ｔとの交点をそれぞれＨ、Ｊとします。２直線ｓとｔの距離を２cm、ｔとｕの距離を１cmとし、ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＡ＝ａ、∠ＡＢＨ＝θとするとき、次の問に答えなさい。
（１）ａとsinθの間に成り立つ関係式を求めなさい。
（２）sinθの値を求めなさい。
（３）ａの値を求めなさい。

［私の答案］
（１）sinθ＝2/a より、ａ=2/sinθ・・・?@
（２）△ＡＢＨで、三平方の定理より
　　　ＢＨ^2＝ａ^2−2^2
　　　∴ＢＨ＝√（a^2−2^2）（∵ＢＨ＞０）
　　　よって、cosθ＝[√[(a^2)−４}]/a・・・?A

　　　△ＢＣＪで、sin(60°−θ)＝１/a
　　　加法定理より、
　　　sin(60°−θ)
　　＝sin60°cosθ−cos60°sinθ＝1/a
　　 (√3)/2＊cosθ−(1/2)*sinθ＝(1/a)
　　 (1/2)sinθ＝{(√3)/2}*cosθ−(1/a)
　　　sinθ＝(√3)*cosθ−(2/ａ)・・・?B

　　　?Aを?Bへ代入
　　sinθ＝(√3)*［√{(a^2)−4}］/a−(2/a)
　　　　＝[[√{(3ａ^2)−12}]−2]/a・・・?C

　　?@、?Cより
　　　√｛(3a^2)−12｝］−2＝2
　　　√｛(3a^2)−12｝］＝4
　　　両辺を２乗して
　　　(3a^2)−12＝16
3a^2＝28
a^2＝28/3
a＝(2√21)/3・・・?D

　　?Dを?@へ代入
　　　sinθ＝2*3/2√21
　　　　　＝(√21)/7・・・?E

ここでは?Eが（２）の、?Dが（３）の答えですが、このような
答案はやはり、減点されますか。


［模範解答］（上記の共通部分を利用します。）
?@を?Bへ代入
sinθ＝(√3)＊cosθ−sinθ
2sinθ＝(√3)*cosθ
cosθ＝(2/√3)sinθ・・・?F

sin^2+cos^2＝１へ?Fを代入
(sin＾2)+(4/3)sin^2θ＝１
(7/3)sin^2θ＝１
sin^2θ＝３／７
０°＜θ＜６０°より、０＜sinθ
∴sinθ＝(√3)/(√7)
　　　　＝(√21)/7

［質問］
１．このように、答え自体は合っていても、答え方の順序が
　設問の（２）→（３）の順序となるように、答案に反映され
　ていないといけませんか。減点対象としてはどの程度になり
　ますか。

２．実際の試験で残り時間が少ない時、途中で方針を変えたり、
　それまで書いた答案を消してやり直しがきかないと判断したと
　き、どのようにすれば採点者の視点から見て、許容範囲と言え
　るような答案とすることができますか。

以上よろしくお願いいたします。

Ｐ．Ｓ．，
垂線を下ろして、直線との交点などという場合、
垂線の足（脚）と言っても構いませんか。この方が簡単なので。









　　　

　　　　
　
　　
　　　
No.4854 - 2009/01/25(Sun) 16:56:47
☆ Re: / Kay(高1女子)
［模範解答］ではsinθを求めるところまでしか書きませんでしたが、これを（１）の答案に代入して、ａを求める部分を省略してしまいました。
No.4855 - 2009/01/25(Sun) 16:59:41
☆ Re: / 七
具体例はよく見ていませんが

> 小問が（１）〜（３）まである記述型の大問では、（１）→（２）→（３）の順序で答案を作成しなければなりませんか。

基本的には順に答えるべきです。
とくに順に答えるように断りがあれば順番を変えればあっていても得点はないと覚悟しなければなりません。

とくに断りがなければ順番を変えてどれだけ減点されるかは
採点基準についてどういう取り決めをしているかによります。
No.4867 - 2009/01/25(Sun) 20:09:37
☆ Re: / angel
そりゃまあ、余裕があれば、(1)→(2)→(3)の順に答えるのがベストでしょう。
加えて、小問に分かれているのは、いわばヒント、サービスですから、大問そのものが解けるだけの実力があるなら、途中の経過を色々ひねってもできる位の懐の深さは欲しいところですね。

ただし、試験で、ということを考えるなら、まず解けることが最優先です。
その時に、(1)→(3)→(2)の解き方しか思い浮かばなかったら、それで書くしかありません。
※(2)だけ解けなくて、(1),(3)だけ解けるケースもあったりしますし。
考え直して書き直すほどの時間の余裕はないのが相場ですから。
そういう意味で、高1の段階では、あまり気にしない方が良いと思います。
No.4876 - 2009/01/25(Sun) 23:28:12
★ 円に外接する四角形で対角線の長さが等しいものは，他にどのような性質を持つのか / moonlight
「円に外接する四角形で対角線の長さが等しいものは，他にどのような性質を持つのか」というタイトル通りの質問です。
円に内接する場合であれば明白です。
また，例えばこの条件を満たすものの一部は等脚台形という特徴を持つでしょう。でも一般的にはどうだろう。場合分けが必要で，等脚台形以外のパターンがあるのでしょうか，ないのでしょうか。ある場合にその特徴（条件）は何でしょう。
No.4852 - 2009/01/25(Sun) 15:20:43
★ 積分 / みほ
∬Ｄ｛（Ｘ−ｙ）／（Ｘ＾２＋ｙ＾２）＾２｝ｄｘｄｙ
Ｄ＝｛（Ｘ、ｙ）｜１≦Ｘ＾２＋ｙ＾２≦４、　−Ｘ≦ｙ≦ｙ｝

cosとsiｎに変換してｄｒ、ｄθにするところまではできるのですがどうしても答えが一致しません。
答え１／√２

解説お願いします。
No.4850 - 2009/01/25(Sun) 14:10:05
☆ Re: 積分 / みほ
変更！！！　　

Ｄ＝｛（Ｘ、ｙ）｜１≦Ｘ＾２＋ｙ＾２≦４、　−Ｘ≦ｙ≦Ｘ｝でした。
No.4851 - 2009/01/25(Sun) 14:11:23
☆ Re: 積分 / angel
「途中までできる」とは言っても、経過書かなきゃ丸投げと同じですよ。

とりあえず、x,y ではなく、r,θ の形式にするところを。
x=rcosθ, y=rsinθ, dxdy=rdrdθ という置換になりますので、

∬[1≦x^2+y^2≦4 かつ -x≦y≦x] (x-y)/(x^2+y^2)^2 dxdy
= ∬[1≦r≦2 かつ -π/4≦θ≦π/4] (rcosθ-rsinθ)/r^4・rdrdθ
= ∫[-π/4,π/4]∫[1,2] (cosθ-sinθ)/r^2 drdθ

ここまでくれば、r,θ別々に積分計算をしていけば答えが出ます。
No.4874 - 2009/01/25(Sun) 22:25:36
★ 極方程式 / あき
連続投稿申し訳ありません(>_<)
どうしてもこの辺りがうまく理解できません。お力添えいただけたら幸いです(>_<)
http://o.upup.be/?Dxr95alvuO
の(1)は
http://p.upup.be/?d6pt9jpgvM
のように解けたのですが(2)がわからなくて、ただこの(1)で求めた式を極座標に直す というようなやり方ではできないのでしょうか？
宜しくお願いします(>_<)
No.4845 - 2009/01/25(Sun) 13:14:43
☆ Re: 極方程式 / rtz
それだと、
「原点からの距離と(x軸の正の部分からの)角度で以って」
表していることになります。
この場合の原点に当たる極は(√3,0)ですから違いますね。

方程式のxを変えるか、
極Aを原点にして、準線を移動させて方程式を作り直すかすれば、
そのまま極座標に直すことはできます。
No.4858 - 2009/01/25(Sun) 18:02:07
☆ Re: 極方程式 / あき
なるほどです…(>_<)
ありがとうございます(>_<)
No.4880 - 2009/01/26(Mon) 18:05:53
★ 極方程式 / あき
こんにちは(^ ^)/
すみませんがまた教えて下さい、
極方程式ではr<0のときも考えるらしく
(r,θ)=(−r,θ＋π)
らしいんですがこの考え方がわかりません(>_<)
rは線分?というかなので−がつくのはおかしいきがしますしよくわからないです…(>_<)
どうかお願いします(>_<)
No.4838 - 2009/01/25(Sun) 12:19:05
☆ Re: 極方程式 / 七
θと(θ＋π)は向きが正反対なので
その向きへの長さが，大きさが同じで向きが反対ならば
同じことになります。
No.4839 - 2009/01/25(Sun) 12:31:22
☆ Re: 極方程式 / あき
でも示している点の場所としては違う場所になりますよね？ごめんなさいもう少し詳しく教えて下さい(>_<)
No.4842 - 2009/01/25(Sun) 13:07:15
☆ Re: 極方程式 / あき
でも示している点の場所としては違う場所になりますよね？ごめんなさいよくわからないのでもう少し詳しく教えて下さい(>_<)
No.4843 - 2009/01/25(Sun) 13:07:25
☆ Re: 極方程式 / 七
同じ場所です
No.4844 - 2009/01/25(Sun) 13:11:08
☆ Re: 極方程式 / あき
極座標としては同じ点ということなのでしょうか？
No.4846 - 2009/01/25(Sun) 13:16:51
☆ Re: 極方程式 / 七
普通に全く一致する点です。
No.4848 - 2009/01/25(Sun) 13:43:01
☆ Re: 極方程式 / あき
ごめんなさい直交座標と交ざってしまうのか同じ点というイメージがわかないです。
もう少し説明していただけると助かります…
No.4881 - 2009/01/26(Mon) 18:07:36
☆ Re: 極方程式 / rtz
七さんの仰ってることと同じになりますが…。

r＞0のときは、直交座標で(r,0)の点をθ回転させた点になりますね。
このときrを大きくしたり小さくしたりすると、
θ[rad]傾いた直線上を原点から見て遠ざかったり近づいたりします。

ならそのままrを小さくして0を越えて負にしたとき、
反対方向にそのまま伸ばしていったと考えると自然です。
このときの点は、反対方向ですから、
(|r|,θ＋π)と考えてもいいわけです。
つまり(−r,θ＋π)と同じ点です。

↑は特定の点について考えましたが、
別に曲線全体を考えても同じわけで、(r,θ)＝(−r,θ＋π)が成り立ちます。
No.4883 - 2009/01/26(Mon) 18:20:25
☆ Re: 極方程式 / 七
これでどうかな。
No.4894 - 2009/01/27(Tue) 10:35:08
☆ Re: 極方程式 / あき
詳しく本当にありがとうございます(>_<)
反対方向の点になるのはわかりました、でも反対方向にあるということなら同じ点にはならないのではないのですか？
こんなに説明していただいてるのにわからなくて申し訳ありません。
No.4897 - 2009/01/27(Tue) 13:24:12
☆ Re: 極方程式 / angel
「でも反対方向にあるということなら…」
こういうことではないでしょうか。

(r,θ)と(r,θ+π)は反対にある点 ( 原点に対して点対称 )
(r,φ)と(-r,φ)は反対にある点なので、φ=θ+πの時も同様、つまり、(r,θ+π)と(-r,θ+π)は反対にある点

そのため、(-r,θ+π)は(r,θ)の反対の反対。
結局(-r,θ+π)と(r,θ)は一致する。
No.4901 - 2009/01/27(Tue) 14:31:15
☆ Re: 極方程式 / 七
中1のとき
「東へ−100m進む。」は「西へ100m進む」と同じことだ
と習いませんでしたか？
No.4908 - 2009/01/27(Tue) 19:16:35
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