ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 確率と無限級数 / 霧切響子(受験生)

1からn(nは3以上の整数)までのすべての整数を1つずつ書いたn枚のカードの中から、同時に3枚のカードを取り出す。取り出した3枚のカードに書いてある数をそれぞれの長さとする3つの線分で、三角形を作ることを考える。三角形ができるようなカードの取り出し方の場合の数をSn、三角形ができる確率をPnとするとき、次の問に答えよ。
(1)S(n+1)をSnとnを用いて表せ。
(2)mは2以上の整数とする。P(2m)およびlim[m→∞]P(2m)を求めよ。

どなたか解法を教えていただきたいです。よろしくお願いいたします。

No.79631 - 2021/11/27(Sat) 10:24:40

☆ Re: 確率と無限級数 / IT

まず、１以上の３つの整数a<b<c が三角形の３辺の長さになる条件は分かりますか？

(1) S(n+1) ：S(n) にどういう場合が加わるか分かりますか？
(2) P(n)=S(n)/分母としたときの分母は分かりますか？

No.79632 - 2021/11/27(Sat) 11:03:27

☆ Re: 確率と無限級数 / 霧切響子(受験生)

三角形の3辺の条件とは、a+b>cのことでしょうか？
(1)質問の意図をくみ取れなかったのですが、S(n＋1)はS(n)にn+1枚目のカードとn枚のカードから(三角形の成立条件を満たすように)選んだ二枚のカードの計3枚からできる三角形の個数が加わるということでしょうか?
(2)n枚のカードから3枚のカードを選ぶ組み合わせの数、すなわち、nC₃=n(n-1)(n-2)/6…?

No.79666 - 2021/11/29(Mon) 00:44:15

☆ Re: 確率と無限級数 / IT

そうですね。
> (1)質問の意図をくみ取れなかったのですが、
質問の意味は分かっておられるようですが、何のための質問か分からないということでしょうか？

S(n+1)をSnとnを用いて表すために、役立つと思ったので質問したのですが、役立ちそうにありませんか？

それとも、「ここまでは分かってた。そこから先が分からない。」ということなら、丸投げせずに自力で分かっているところまで書いて質問された方がお互い無駄がなくていいと思います。

No.79668 - 2021/11/29(Mon) 05:25:43

☆ Re: 確率と無限級数 / 霧切響子(受験生)

返信ありがとうございます。
「質問の意図がくみ取れなかった」と言ったのは、ITさんの「どういう場合が加わるかわかりますか？」という言葉の「どういう場合」が何を指しているのか自分の中で曖昧だったため、そういう風に申した限りでございます。

はじめは全くわからない状態でしたが、ITさんが誘導してくださったおかげで方針がわかりました。ありがとうございます。

No.79709 - 2021/11/30(Tue) 21:35:42

☆ Re: 確率と無限級数 / IT

ヒントになったのなら良かったです。

No.79711 - 2021/12/01(Wed) 07:16:51

★ 軌跡領域 / アカギ

東大実戦です
xy平面上に正方形ABCDがあり、その面積をSとする.点Aはy軸の正の部分に、点Bはx軸の正の部分に、2点C,Dは第一象限にあるという条件をみたして、点Dがy=-x²+1上を動く時,Sの取りうる値の範囲を求めよ.

No.79606 - 2021/11/26(Fri) 11:05:29

☆ Re: 軌跡領域 / アカギ

一辺の長さをa,∠OAB=θとしてOA=acosθ,OB=asinθ D(acosθ,a(cosθ+sinθ))とおいてDがy=-x²+1上よりa(cosθ+sinθ)=-a²cos²θ+1としてみたのですが、aの範囲への持っていき方がわかりません.

No.79607 - 2021/11/26(Fri) 11:18:03

☆ Re: 軌跡領域 / 高校三年生

原点をOとし、点Dからｙ軸に下ろした垂線の足をEとすると、

△OAB≡△EDA

だから、２点A、Bの座標は点Dのｘ座標で表せるのではないでしょうか？

あ！そういう問題じゃないのか。
失礼しました。m(_ _)m

No.79608 - 2021/11/26(Fri) 12:19:29

☆ Re: 軌跡領域 / ast

力技で,

A(0,a), B(b,0), D(a,a+b) (a>0, b>0) と置くとき, D の条件から a+b=-a^2+1 を a について解くと a=√(5-4b) -1 (0<b<1), S=a^2+b^2=b^2-b-(√(5 - 4 b))/2+3/2 なので, S の 0<b<1 における増減を見ると, dS/db=2b+1/√(5-4b) -1 だから b=1/4 で最小値 5/16. 最大値は端点で取ることになるので b→0 のとき S→(3-√5)/2 と b→1 のとき S→1 を比べて, 結局 5/16≤S<1.

みたいなのはダメだろうか.

No.79609 - 2021/11/26(Fri) 12:36:43

☆ Re: 軌跡領域 / アカギ

文系の解き方ってありますかね

No.79613 - 2021/11/26(Fri) 17:04:01

☆ Re: 軌跡領域 / ＿

astさんの方針とおおむね一致しましたが、aを主役にすると文科用の解法になります。

（やかましいことを言うと数IIでは4次以上の多項式で表される関数の微分を扱ってはいけない気がするが、さすがにそんなこと素直に守ったりしない）

A(0,a) B(b,0) (a,b>0)とおくと、D(a,a+b)でこれがy=-x^2+1上にあるのでa+b=-a^2+1ゆえb=-a^2-a+1
a,b>0だから-a^2-a+1>0かつa>0なるaの範囲を求めて0<a<(-1+√5)/2を得る。

S=a^2+b^2=a^4+2a^3-2a+1をf(a)とする。
f'(a)=2(a+1)^2(2a-1)と綺麗に因数分解できるので増減表も書ける。結局、Sの最小値はf(1/2)で、上限はf(0)とf((-1+√5)/2)を比較して求める。

No.79620 - 2021/11/26(Fri) 22:42:04

★ (No Subject) / Ma

この問題を教えてください、こまってます。
よろしくお願いします。

No.79598 - 2021/11/26(Fri) 00:43:18

☆ Re: / ast

ヒントがほとんど答えというか, 三角化 U^*(A-λ_1x_1x_1^*)U (U はヒントに言う A を三角化するユニタリ行列) を計算するだけでは…….

No.79600 - 2021/11/26(Fri) 07:00:12

☆ Re: / UI

横から失礼いたします。
＞＞＞
ヒントがほとんど答えというか, 三角化 U^*(A-λ_1x_1x_1^*)U (U はヒントに言う A を三角化するユニタリ行列) を計算するだけでは…….

これって計算かなりむずいくないですか？？
同じような問題で困ってます。

No.79612 - 2021/11/26(Fri) 16:54:24

☆ Re: / ast

> これって計算かなりむずいくないですか？？
ヒントの中にユニタリ行列Uとその第1列ベクトルx_1が出てきていることから, 敷衍して「ユニタリ行列の列ベクトルによる特徴付け」に行き当たっていないならサボりと変わらないかな, という印象です.

計算らしい計算すら必要ないような計算を難しくないかと問われれば「客観的には難しいどころか簡単の部類だろう」としか言いようがないので…….
# まあ,「質問者にとって」という枕詞を付けるのであればべつに好きに言っていいとは思いますが,
# その枕詞をつけるのであれば自分で決めることなので他人に投げかける意味がないし.

No.79623 - 2021/11/26(Fri) 23:57:49

★ 数学B 空間ベクトル / Nao

【3】(2)が分かりません。今のところ、→AQをlの方程式を利用して表してから内積を使って解くのだと考えていますが、その後の方針が分かりません。
解法のヒントを頂けるとありがたいです。よろしくお願いします。

(1)は((2)の誘導ではないと思いますが)、P(3,0,5)という解が出ました。

No.79593 - 2021/11/26(Fri) 00:16:20

☆ Re: 数学B 空間ベクトル / Nao

問題はこちらです。

No.79594 - 2021/11/26(Fri) 00:16:46

☆ Re: 数学B 空間ベクトル / Nao

すみません、載せる画像を間違えてしまいました、こちらが正しいものです

No.79595 - 2021/11/26(Fri) 00:20:00

☆ Re: 数学B 空間ベクトル / ヨッシー

原点Ｏを通り、直線ｌに垂直な平面と、直線ｌとの交点が
求める点Ｑとなります。

No.79603 - 2021/11/26(Fri) 08:26:35

☆ Re: 数学B 空間ベクトル / ast

画像の答案で (2) の最初の行の左辺が AQ ではなく正しくは OQ (その右辺は (適当な m に対して) OQ を表す式です) なので, そのまま続けて m が求まって代入して答えでいいのでは.
# Q の座標が (x,y,z) のときベクトル OQ は OQ=(x,y,z) になることに注意します.

No.79604 - 2021/11/26(Fri) 08:41:22

☆ Re: 数学B 空間ベクトル / Nao

ヨッシーさま、astさま

ありがとうございます！
ただ、、実力不足でいただいたヒントでは解くことができません。。
途中式を含む解答まで教えていただけないでしょうか。

よろしくお願いします。

No.79627 - 2021/11/27(Sat) 01:26:11

☆ Re: 数学B 空間ベクトル / ヨッシー

直線ｌの方向ベクトルは(1,-1,1)なので、
原点を通りこれに垂直な平面は
　ｘ－ｙ＋ｚ＝０
これに、直線ｌの式
　(x,y,z)＝(m+1, -m+2, m+3)
を代入して、ｍを求めます。
これを、(m+1, -m+2, m+3) に代入したものが求めるＱの座標となります。

No.79628 - 2021/11/27(Sat) 06:48:11

☆ Re: 数学B 空間ベクトル / Nao

重ねての質問申し訳ありません、

成分表示された方向ベクトルの値の和が、これに垂直な原点を通る平面の方程式と一致するということで正しいのでしょうか？また、なぜそうなるのですか？(検索しても分かりませんでした)

回答よろしくお願いします。

No.79650 - 2021/11/28(Sun) 01:08:31

☆ Re: 数学B 空間ベクトル / ast

計算自体は
> ｘ－ｙ＋ｚ＝０に、(x,y,z)＝(m+1, -m+2, m+3)を代入して、ｍを求めます。
と同じ計算になりますが, 意味としてはNaoさんの No.79595 の画像で AB・OQ=0 を計算したという認識をされたほうがよいのではないかと思います.

ヨッシーさんの No.79628 は一般論としては「平面 α の方程式が ax+by+cz=d (a,b,c,dは適当な定数) と書けるなら平面 α の法ベクトル (の一つ) は (a,b,c) で与えられる.」として述べられるような話です.
# 平面に垂直なベクトルのことを法ベクトルとか法線ベクトルとか言います.
## (平面に垂直な直線のことを法線とよぶのがもとになっています.)
「」内の主張は, 平面 α を通る一点 A(x_0,y_0,z_0) が分かっているとき, A が平面　α の上にある⇔ ax_0+by_0+cz_0=d なので, このとき
　a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0
が成り立つということを表しています (d の値に依らないことに注意. とくに平面αが原点を通る⇔d=0). あるいはさらに B(x_1,y_1,z_1) も通ることが分かっているなら
　a(x_1-x_0)+b(y_1-y_0)+c(z_1-z_0)=0
が成り立ちますが, これはベクトル (a,b,c) とベクトル AB=(x_1-x_0, y_1-y_0, z_1-z_0) との内積が 0 という式だとみなせば, (a,b,c) は平面上の直線 AB と直交しているという主張として理解できます. このような形に書き直すともとの問題とのつながりも見えてくるはずと期待します.
~~# 具体的には OQ=(a,b,c), x_0=1,y_0=2,z_0=3, x_1=2,y_1=1,z_1=4 です.~~

No.79655 - 2021/11/28(Sun) 13:49:42

☆ Re: 数学B 空間ベクトル / ast

> # 具体的には OQ=(a,b,c), x_0=1,y_0=2,z_0=3, x_1=2,y_1=1,z_1=4 です.
あ, 違った. (a,b,c)=(1,-1,1) (もとの問題文のほうのベクトルAB) なので, もとの問題に理解をつなげるためには No.79655 の記号の設定はよくなかったですね…….

No.79658 - 2021/11/28(Sun) 17:31:37

☆ Re: 数学B 空間ベクトル / Nao

astさま
ご丁寧に解説くださりありがとうございました！

No.79665 - 2021/11/29(Mon) 00:29:58

★ (No Subject) / 田中角栄

やり方を教えてください！

No.79592 - 2021/11/25(Thu) 22:51:33

☆ Re: / ast

これだけでは出題者の出題意図は量りかねますが, 各行と (1+x)^n, d(1+x)^n/dx, d^2(x(1+x)^n)/dx^2 をそれぞれ二項展開した結果とを比較してみられては.

No.79605 - 2021/11/26(Fri) 09:15:03

☆ Re: / 田中角栄

問題は全部でこれだけです。これ問2までは微分で解けますが
3番はやはりゴリ押すしかないのですか？

No.79611 - 2021/11/26(Fri) 16:16:06

☆ Re: / ast

> 問題は全部でこれだけです。
私は問題にぬけがあると言っているのではありません, 問題から出題意図 (想定されているであろう解法) が読み取れないと言っています.
# 例えば講義で類題を解説してあって「同様の解法で解ける」という意図で解法の適用に必要な情報だけの
# 追加の問題を出した状況を想定すれば, その講義の参加者には解答方法を推測する材料があるが,
# 受けていない第三者には推測する材料が足りなくて当然で, 質問者が補うのが当然です.
## (回答者がその問題を簡単に解けたとして, 使った解法が受講者(=質問者) の知識範囲外かつ
## 知識範囲外であることが出題者は判断できる場合, 回答者の答案はそのままコピペで提出しても
## 確実に不正と見なされて不受理になるのがオチです)

例えばこのスレッドに関して言うのであれば, No.79611 で
> これ問2までは微分で解けますが
と書かれてあってようやく, 私はこの問題で微分を使うのは (出題者と質問者の間の講義等を通じたやりとり, この出題へ至る文脈において) 真っ当な方法という認識をして構わないということでいいのだろうなと推測する材料を得た, という状況だと考えています.

> 3番はやはりゴリ押すしかないのですか？
ん? 3番というのが4行目のことなら, どうして2番(3行目)と同様に (母函数の) 微分で解かないのでしょうか?
それとも最終行のことなのかな……? (そういえば最終行は解答枠が二つあるけど, 一桁になるような……?)

No.79618 - 2021/11/26(Fri) 22:06:16

☆ Re: / 田中角栄

> やり方を教えてください！

最後の問題の微分の仕方がわからないので教えてもらえませんか？

No.79638 - 2021/11/27(Sat) 15:29:15

☆ Re: / ast

> 最後の問題
ということは, No.79611の「3番」というのはやはり最終行の不等式のことだったのですね……(冷静に振り返れば No.79605 では4行目までの3つの等式については全部触れてあるので訊いているのがそこであるとは考えにくいし, その反面, 5行目の不等式については何も言及していませんでしたから, まあそういうことですよね, 申し訳ない), まあでもそうであるのならば
> ゴリ押すしかない
という認識でよいと思います, 左辺を4行目で求めた式の [(105)]^n-[(106)] の部分の値だけから見積もってもせいぜい n=20くらいまでに答えがあるのは明白なので.

# ひとつ言い訳というか注文というかさせてもらえば, 画像に問題は1つだけなのに問2とか3番とか仰るのは
# どこを指しているのか分かりにくく語弊を招くだけなのでやめて欲しかったです.

No.79641 - 2021/11/27(Sat) 18:37:05

★ 整数と図形 / 佐々木のぞみ

解き方を教えてください12両方です

No.79590 - 2021/11/25(Thu) 22:24:27

☆ Re: 整数と図形 / ヨッシー

(1)
書かれている通りに変形すると、
　6x^2－4xy＋4y^2＝4020
　5x^2＋(x－2y)^2＝4020
x－2y は５の倍数であるので、x－2y＝5z とおくと、
　5x^2＋25z^2＝4020
　x^2＋5z^2＝804
5z^2 の１の位は０か５なので、x^2 の１の位は４か９。
よって、x の１の位は 2,3,7,8 のいずれか。
　ｘ＝2, 3, 7, 8, 12, 13, 17, 18, 22, 23, 27, 28
に対して、z^2 の値は
　z^2＝160, 159, 151, 148, 132, 127, 103, 96, 64, 55, 15, 4
このうち平方数は 64 と 4 であり、
　(x, z^2)＝(22, 64), (28, 4)
　(x, z)＝(22, 8), (22, -8), (28, 2), (28, -2)
これを満たす (x, y) の組は
　(x, y)＝(22, 31), (28, 9), (28, 19)
あとは、ｙの小さい順に並べるだけです。

No.79629 - 2021/11/27(Sat) 07:35:47

☆ Re: 整数と図形 / ヨッシー

(2)
△ＡＢＰを底面とすると、
三角柱とＰＡＢＣＤＥ　と　四面体ＱＰＩＪ　において
　底面は１：４
　高さは１：２
なので、体積比は
　１：８／３＝３：８＝６：１６
よって、Ｖの体積は１６。

No.79630 - 2021/11/27(Sat) 07:48:31

★ 中三　確率　くじの公平性 / SS

当たりくじ1本を含む3本のくじをA,Bが順番に引く時(引いたくじは元に戻さない)にAとBの当たる確率が同じということがわかりません。
Aが当たりを引く確率が1/3
Bは
Aが外れた場合…1/3
Aが当たりを引いた場合は0 というところまでは分かったのですが、
ここではなぜか0+1/3をしています。なぜ足すのでしょうか。よろしくお願い致します。

No.79585 - 2021/11/25(Thu) 20:09:48

☆ Re: 中三　確率　くじの公平性 / ヨッシー

>Aが当たりを引いた場合は0
なので、足しても足さなくても同じと思うかもしれませんが、
算出した確率は（０でも）全部足すクセを付けましょう。

これが、３本中２本当たりだとすると,
Ａが当たる確率は　2/3

Ｂについて、
１．１人目が外れの場合
　1/3×2/2＝1/3
２．１人目が当たりの場合
　2/3×1/2＝1/3
となるので、１と２を足して
　1/3＋1/3＝2/3

これは絶対足さないとダメですよね。

No.79587 - 2021/11/25(Thu) 22:17:37

☆ Re: 中三　確率　くじの公平性 / SS

「または」の場合に和の法則を使うのですね！ありがとうございました。

No.79602 - 2021/11/26(Fri) 08:19:14

★ 接点の個数 / りん

p、qを互いに素である自然数とする。
媒介変数表示で表された曲線C:x=sinpθ、y=sinqθと直線x=1との接点の個数を求めよ。
という問題なのですが、p、qに適当に値を入れて図を書いて考えるとp、qのどちらかが偶数だとp個になり、p、qが両方奇数だとp個よりも少なくなりました。

p、qが両方とも奇数の場合の一般解があれば求め方を教えてください。

No.79579 - 2021/11/25(Thu) 13:45:14

☆ Re: 接点の個数 / らすかる

両方とも奇数の場合は(p-1)/2個になりそうですね。
（端点を「接点」に含めるなら(p+1)/2個）

No.79581 - 2021/11/25(Thu) 17:25:13

☆ Re: 接点の個数 / りん

どうやって求めたのでしょうか？

No.79582 - 2021/11/25(Thu) 19:05:07

☆ Re: 接点の個数 / らすかる

> p、qに適当に値を入れて図を書いて考えるとp、qのどちらかが偶数だとp個になり

これと同じ方法です。

No.79596 - 2021/11/26(Fri) 00:26:42

☆ Re: 接点の個数 / りん

なぜそうなるのか高校数学の範囲で示すことは出来ますでしょうか？

No.79601 - 2021/11/26(Fri) 07:23:52

☆ Re: 接点の個数 / らすかる

sinpθ=1となるθは(4n+1)π/(2p)なので
接点は(1,sin{(4n+1)qπ/(2p)})
f(n)=(4n+1)qπ/(2p)とすると
f(n+p)-f(n)=2qπなのでsin(f(n+p))=sin(f(n))
よって
sin(f(0)),sin(f(1)),sin(f(2)),…,sin(f(p-1))で
異なる値を調べれば十分。
sin(f(m))=sin(f(n))となるのは
f(m)-f(n)=2kπまたはf(m)+f(n)=(2k+1)πのとき（和積公式で示せます）。

f(m)-f(n)=2kπのとき (4m+1)qπ/(2p)-(4n+1)qπ/(2p)=2kπ
整理して m-n=kp/q
pとqは互いに素なので右辺が整数になるためにはkがqの倍数である必要があり、
このとき右辺はpの倍数になるので、
0≦m＜n≦p-1でf(m)-f(n)=2kπとなることはない。

f(m)+f(n)=(2k+1)πのとき (4m+1)qπ/(2p)+(4n+1)qπ/(2p)=(2k+1)π
整理して 2(m+n)+1=(2k+1)p/q
pとqは互いに素なので右辺が整数になるためには2k+1がqの倍数である必要がある。

qが偶数ならば2k+1はqの倍数になり得ず、右辺が整数になることはないので
0≦m＜n≦p-1でf(m)+f(n)=(2k+1)πとなることはない。
従ってsin(f(0)),sin(f(1)),sin(f(2)),…,sin(f(p-1))は
すべて異なる値になるので、接点はp個となる。

pが偶数ならば2k+1がqの倍数のとき右辺が偶数になるが
左辺は奇数なので式が成り立たない。よって上と同じく接点はp個になる。

pとqが奇数で2k+1がqの倍数のとき
2(m+n)+1≡0 (mod p) すなわち 2m+2n≡-1 (mod p)
任意のmに対してnは唯一に決まる
（∵2m+2kをpで割った余りはk=0～p-1に対してすべて異なる）
が、m=nとなる解も一つだけある。
従ってsin(f(0)),sin(f(1)),sin(f(2)),…,sin(f(p-1))のp個のうち
p-1個は2個ずつ同じ値が存在し、残りの1個は同じ値が存在しない。
よって接点は(p+1)/2個となる。

# 最後のあたりはもう少しうまくまとめられるかも知れません。

No.79616 - 2021/11/26(Fri) 20:41:22

☆ Re: 接点の個数 / IT

p、qが互いに素な奇数の場合
少し端折ってますし、らすかるさんが回答済みで、同じようなところもありますが、参考までに載せてみます。

曲線C:x=sinpθ、y=sinqθ　は0≦θ＜2πで　すべて覆われる。

x=sinpθ＝1 となるのは　θ=(2kπ+π/2)/p（kは整数で0≦k≦p-1）のp 個.

これらのp個所でのy=sinqθの値の個数を調べる　
α=(2aπ+π/2)/p,β=(2bπ+π/2)/p,(a,bは整数で0≦a＜b≦p-1) について
sinqα=sinqβとなるのは
qβ＝qα+2nπ…(1) またはqα+qβ＝(2n+1)π…(2) ,nは正の整数

(1)のとき、　(b-a)(q/p)=n,これはp,qが互いに素と0≦a＜b≦p-1からあり得ない。
(2)のとき、 (q/p)(2a+2b+1)=2n+1
　p,qが互いに素より2a+2b+1＝p,3p
　あるaについて2a+2b+1＝p,2a+2b'+1＝3pとすると
　b'-b=p となり、0≦b,b'≦p-1からあり得ない。
　2a+2b+1＝pのとき　b=(p-2a-1)/2
　2a+2b+1＝3pのとき　b=(p-2a-1)/2

　(p-1)/4 が整数のときは,2((p-1)/4)+2((p-1)/4)+1=pとなり、この(p-1)/4 を除き、
(3p-1)/4 が整数のときは,2((3p-1)/4)+2((3p-1)/4)+1=3pとなり、この(3p-1)/4を除き
それ以外の0からp-1までのp-1個の整数は
　 (q/p)(2a+2b+1)=2n+1、0≦a＜b≦p-1となる(p-1)個のペア(a,b)に分割できる。

したがって、x=sinpθ＝1 となるp個のθでのy=sinqθの値の個数は(p-1)/2 + 1＝(p+1)/2
個。　　

No.79617 - 2021/11/26(Fri) 21:33:47

☆ Re: 接点の個数 / りん

らすかるさん、ITさんありがとうございました。
らすかるさんの内容は全て理解できたのですが、
ITさんの
＞2a+2b+1＝pのとき　b=(p-2a-1)/2
＞2a+2b+1＝3pのとき　b=(p-2a-1)/2
の後半部分だけちょっと分かりませんでした。

丁寧にご説明いただきありがとうございました。

No.79619 - 2021/11/26(Fri) 22:18:38

☆ Re: 接点の個数 / IT

＞2a+2b+1＝3pのとき　b=(p-2a-1)/2
b=(3p-2a-1)/2 でした。

2a+2b+1＝pのとき　b=(p-2a-1)/2
　0≦a＜b≦p-1…(A)なので0≦a＜(p-2a-1)/2
　∴0≦a＜(p-1)/4 このとき(p-1)/4＜b≦(p-1)/2が対応。
　すなわち(p-1)/4を軸に左右対称にa,b がペアとなり、2a+2b+1＝pとなる。

2a+2b+1＝3pのとき　b=(3p-2a-1)/2
(A) より a＜(3p-2a-1)/2 ≦p-1
　∴(p+1)/2≦a＜(3p-1)/4,このとき(3p-1)/4＜b≦p-1　が対応。
すなわち(3p-1)/4を軸に左右対称にa,b がペアとなり、2a+2b+1＝３pとなる。

(p-1)/4が整数のときは、(p-1)/4はペアなし
(3p-1)/4が整数のときは(3p-1)/4はペアなし
となる。ということです。

　

No.79621 - 2021/11/26(Fri) 23:40:41

☆ Re: 接点の個数 / りん

ありがとうございます。
完全に理解出来ました。
自分でも図を書いて対称性を確認する事が出来ました。

No.79622 - 2021/11/26(Fri) 23:54:27

★ 三角形の数 / √

また教えてください。

正五角形の中に、全ての対角線を書くと、
星型ができますが、
この中にできる三角形の数は、
３５個で合っていますでしょうか？

実際に全てを数えたのではなく

１つの辺から対角に向かって２本の対角線（実線）を引き
三角形を作ります。
他の対角線は「点線」で引いておきます。

すると「実線」で囲まれた１つの三角形の中に
７個の三角形がてきます。
（この時、点線の部分も含む）

７個ｘ５辺分＝３５個と考えました。

【追記】
もし、この考え方が正しいとしたら、
ｎ角形だったら、三角形を造れる数は
必ず、ｎの倍数になっているはず
と考えてよろしいでしょうか？

No.79569 - 2021/11/24(Wed) 23:07:33

☆ Re: 三角形の数 / らすかる

その数え方だと隣の辺から三角形を作って数えたときに
1つ同じ三角形を重複して数えますよね？

No.79575 - 2021/11/25(Thu) 01:53:30

☆ Re: 三角形の数 / √

らすかるさん
有難うございます。

本当だ～。
重複してしまいますね。

No.79576 - 2021/11/25(Thu) 02:07:25

★ 4次関数 / 📐

f(x)=x^2-2ax^3+bx²+x(a,bは実数の定数でa＞0) とする.
曲線C:y=f(x)と直線l:y=pxが原点Oおよび他の1点で接しているとき,次の問に答えよ.
(1) pの値を求め, bをaを用いて表せ.
(2) Cとlで囲まれる部分の面積Sをaを用いて表せ.
(3)lと平行なCの接線をmとし,Cとmで囲まれる部分の面積をTとする.(2)のSとTの比S:Tを求めよ.

解説よろしくお願いします。

No.79565 - 2021/11/24(Wed) 19:30:11

☆ 4次関数 / 📐

★ 4次関数 NEW / 📐
f(x)=x^4-2ax^3+bx²+xが正しいです。よろしくお願いします。

No.79566 - 2021/11/24(Wed) 19:31:34

☆ Re: 4次関数 / X

(1)
前半)
条件から
f'(x)=4x^3-6ax^2+2bx+1
∴p=f(0)=1
後半)
前半の過程から、lの原点以外のCとの接点のx座標に対し
x^4-2ax^2+bx^2+x=x (A)
4x^3-6ax^2+2bx+1=1 (B)
x≠0に注意して、(A)(B)をx,bについての
連立方程式として解きます。

(A)より
(x^2-2ax+b)x^2=0
x≠0より
x^2-2ax+b=0 (A)'
一方、(B)とx≠0より
2x^2-3ax+b=0 (B)'
(B)'-(A)'より
x^2-ax=0
∴x≠0よりx=a
これを(A)'に代入して
b=a^2

(2)
(1)の結果からlの原点以外のCの接点の
x座標はa
一方、(1)の結果から
f(x)-px=x^4-2ax^3+(a^2)x^2+x-x
={(x-a)x}^2≧0
∴lはCの下側にあるので
S=∫[0→a]{f(x)-px}dx
=∫[0→a]{x^4-2ax^3+(a^2)x^2}dx
=[(1/5)x^5-(1/2)ax^4+(1/3)(a^2)x^3][0→a]
=(1/30)a^5

(3)
(1)の過程から、mとCとの接点のx座標について
4x^3-6ax^2+(2a^2)x+1=1
これより
x(2x^2-3ax+a^2)=0
x(2x-a)(x-a)=0
∴(2)の過程から
x=a/2
∴mの方程式は
y=(x-a/2)+f(a/2)
整理をして
y=x+(1/16)a^4
∴Cとmとの交点のx座標について
x^4-2ax^3+(a^2)x^2+x=x+(1/16)a^4
これより
x^4-2ax^3+(a^2)x^2-(1/16)a^4=0
{x^2-ax-(1/4)a^2}(x-a/2)^2=0 (B)
∴x=a/2,(1+√2)a/2,(1-√2)a/2
∴T=∫[(1-√2)a/2→(1+√2)a/2]{{x+(1/16)a^4}-f(x)}dx
=-∫[(1-√2)a/2→(1+√2)a/2]{x^2-ax-(1/4)a^2}{(x-a/2)^2}dx
ここからですが部分積分を2回使います。
T=[-(1/3){x^2-ax-(1/4)a^2}{(x-a/2)^3][(1-√2)a/2→(1+√2)a/2]
+(1/3)∫[(1-√2)a/2→(1+√2)a/2]{(2x-a){(x-a/2)^3}dx
=(1/3)∫[(1-√2)a/2→(1+√2)a/2]{(2x-a){(x-a/2)^3}dx
=(1/12)[(2x-a){(x-a/2)^4][(1-√2)a/2→(1+√2)a/2]
-(1/12)∫[(1-√2)a/2→(1+√2)a/2]{(x-a/2)^4}dx
=(1/12)(a^5)/√2-(1/60)[(x-a/2)^5][(1-√2)a/2→(1+√2)a/2]
=(1/12)(a^5)/√2-(1/30)(a/√2)^5
=(1/12)(1/√2)a^5-(1/30)(1/4)(1/√2)a^5
=(9/10)(1/12)(1/√2)a^5
=(3/40)(1/√2)a^5
∴S:T=1/30:(3/40)(1/√2)=4√2:9

No.79574 - 2021/11/25(Thu) 00:49:31

☆ Re: 4次関数 / X

(3)の別解(の方針)

(B)までは同じです。ここから
x^2-ax-(1/4)a^2=0 (C),x=a/2
ここで(C)の解をα、β(α＜β)とすると
解と係数の関係から
α+β=a (D)
αβ=-(1/4)a^2 (E)
∴β-α=√{(α+β)^2-4αβ]
=a√2 (F)
よって
T=∫[α→β]{f(x)-{x+(1/16)a^4}}dx
=∫[α→β]{x^4-2ax^3+(a^2)x^2-(1/16)a^4}dx
=(1/5)(β^5-α^5)-(1/4)a(β^4-α^4)
+(1/3)(a^2)(β^3-α^3)-(1/16)(a^4)(β-α)
=(1/5)(β^4-α^4)(β+α)-(1/5)(β^3-α^3)αβ-(1/4)a(β^2-α^2)(α^2+β^2)
+(1/3)(a^2)(β-α)(α^2+αβ+β^2)-(1/16)(a^4)(β-α)
=…
((D)(E)(F)が代入できるように変形します。)

No.79577 - 2021/11/25(Thu) 05:55:26