x>0において、関数f(x)、g(x)、h(x)を
f(x)=e^x-x^e,g(x)=e^(x-1),h(x)=x^(e-1)
で定める。なお、eは自然対数の底であり、2<e<3であることを用いてよい。
(1)1<x<eのとき、logg(x)<logh(x)であることを示せ。
(2)f(x)の増減を調べて極値を求めよ。
(3)x>2eのとき、f(x/2)の符号を答えよ。また、極限lim[x→∞]f(x)を求めよ。
(4)kを実数の定数とする。方程式f(x)=kの異なる実数解の個数を求めよ。
教えていただきたいです。よろしくお願いします。
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No.80072 - 2021/12/26(Sun) 23:15:14
| ☆ Re: 数?V/微積・極限 / X | | | (1)
logh(x)-logg(x)=F(x)
と置くと
F(x)=(e-1)logx-x+1
∴F'(x)=(e-1)/x-1={(e-1)-x}/x
∴1＜x＜eにおいてF'(x)＜0ゆえ
F(x)＞F(e)=0
よって
logg(x)＜logh(x)
(2)
条件から
f'(x)=-e{h(x)-g(x)}
ここで(1)の過程と同様に考えると
0＜x＜eのときF(x)＞0
F(e)=0
e＜xのときF(x)＜0
∴
0＜x＜eのときh(x)-g(x)＞0
h(e)-g(e)=0
e＜xのときh(x)-g(x)＜0
となるので、
0＜x＜eのときf'(x)＜0
f'(e)=0
e＜xのとき0＜f'(x)
∴f(x)は極小値f(e)=0を持ちます。
(3)
前半)
x＞2eよりx/2＞e
∴(2)の過程からf(x/2)＞0
後半)
x→∞を考えるので
1＜x
としても問題ありません。
このとき
e^x＞1+x+(1/2)x^2+(1/6)x^3
(証明は省略します)
∴f(x)＞1+x+(1/2)x^2+(1/6)x^3-x^e
={1/x^3+1/x^2+1/(2x)+1/6-1/x^(3-e)}x^3
→∞(x→∞)
∴lim[x→∞]f(x)=∞
(後半については前半を使った方針があるかもしれません)
(4)
問題の方程式の実数解の個数は
曲線y=f(x)と直線y=kとの交点の個数
に等しくなります。
ここで
lim[x→+0]f(x)=1
と(2)(3)の結果に注意して
曲線y=f(x)と直線y=k
を描くことにより、求める実数解の個数は
0＜k＜1のとき2個
k=0,1≦kのとき1個
k＜0のとき0個
となります。
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No.80079 - 2021/12/27(Mon) 18:54:35 |
| ☆ Re: 数?V/微積・極限 / 松尾と三好 | | | 全問解説ありがとうございます。
(1)で「1＜x＜eにおいてF'(x)＜0」とありますが、どうしてそうなるのかわからないので、もう少しかみ砕いて説明していただけると非常に助かります。お手数をお掛けしてすみません。
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No.80082 - 2021/12/27(Mon) 22:08:34 |
| ☆ Re: 数?V/微積・極限 / IT | | | 横から失礼します。
>(1)で「1＜x＜eにおいてF'(x)＜0」
は間違いだと思います。
log は、増加関数なので F(x)=h(x)-g(x) とおいて これを評価すればよいです。
F(1)=F(e)=0,F'(1)>0,F'(e)<0,1＜x＜eにおいてF''(x)＜0 を使うのでは？
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No.80084 - 2021/12/27(Mon) 22:59:28 |
| ☆ Re: 数?V/微積・極限 / 松尾と三好 | | | ITさん返信ありがとうございます。
やはりそうですよね、その方法で一度やってみます。
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No.80085 - 2021/12/27(Mon) 23:12:59 |
| ☆ Re: 数?V/微積・極限 / X | | | ＞＞ITさんへ
ご指摘ありがとうございます。
＞＞松尾と三好さんへ
ごめんなさい。e-1の値の評価を間違えていました。
(1)(2)(4)を改めてアップします。
(1)
logh(x)-logg(x)=F(x)
と置くと
F(x)=(e-1)logx-x+1
∴F'(x)=(e-1)/x-1={(e-1)-x}/x
そこで1＜x＜eにおけるF(x)の
増減表を書くと
lim[x→1+0]F(x)=0
lim[x→e-0]F(x)=0
で
F(x)はx=e-1で極大
となっていますので
F(x)＞0
よって
logg(x)＜logh(x)
(2)
条件から
f'(x)=-e{h(x)-g(x)}
ここで(1)の過程と同様に考えると
0＜x＜1のときF(x)＜0
F(1)=0
1＜x＜eのときF(x)＞0
F(e)=0
e＜xのときF(x)＜0
∴0＜xなる任意のxに対し、
F(x)の符号とh(x)-g(x)の符号が同じである
ことに注意すると
0＜x＜1のときf'(x)＞0
f'(1)=0
1＜x＜eのときf'(x)＜0
f'(e)=0
e＜xのときf'(x)＞0
∴f(x)は
極大値f(1)=e-1
極小値f(e)=0
を持ちます。
(4)
問題の方程式の実数解の個数は
曲線y=f(x)と直線y=kとの交点の個数
に等しくなります。
ここで
lim[x→+0]f(x)=1
と(2)(3)の結果に注意して
曲線y=f(x)と直線y=k
を描くことにより、求める実数解の個数は
1＜k＜e-1のとき3個
0＜k≦1,k=e-1のとき2個
k=0,e-1＜kのとき1個
k＜0のとき0個
となります。
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No.80093 - 2021/12/28(Tue) 06:45:55 |
| ☆ Re: 数?V/微積・極限 / 松尾と三好 | | | ＞＞＞Xさんへ
わざわざ再解説ありがとうございます。
非常に助かりました。お手数をおかけしてしまって申し訳ないです(-_-;)
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No.80109 - 2021/12/28(Tue) 19:47:31 |
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