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★ 第一階非斉次方程式(積分因子法) / きなこ
写真の右側のように
y'+xy/√(x^2+1)=x
を積分因子法で解いたのですが，自分の答えと解答が合いません。どこが間違っているかわかる方いたら教えて頂けないでしょうか。
解答は
y=((x^2+1)/3)+C/√(x^2+1)
です。よろしくお願いします。
No.76150 - 2021/06/27(Sun) 00:00:00
☆ Re: 第一階非斉次方程式(積分因子法) / WIZ
解答の y = (x^2+1)/3+C/√(x^2+1) は、微分方程式 y'+xy/√(x^2+1) = x を満たしません。
# y' = (2/3)x-Cx{(x^2+1)^(-3/2)}
# xy/√(x^2+1) = (x/3)√(x^2+1)+Cx/(x^2+1)

一方、スレ主さんの計算ですが、最後の最後でミスしています。
> y(e^√(x^2+1) = (e^√(x^2+1))(√(x^2+1)-1)+C
> y = √(x^2+1)-1+C
上記の最後は y = √(x^2+1)-1+C(e^(-√(x^2+1))) ですね。

そして、上記は微分方程式 y'+xy/√(x^2+1) = x を満たしています。
# y' = x/√(x^2+1)-{x/√(x^2+1)}C(e^(-√(x^2+1)))
# xy/√(x^2+1) = x-x/√(x^2+1)+{x/√(x^2+1)}C(e^(-√(x^2+1)))

・・・なので、解答が間違っているか、解答を含む問題文の写し間違いですかね。
ともかく、検算すれば気付けることなので、検算する癖を付けましょう!
No.76176 - 2021/06/27(Sun) 13:21:11
☆ Re: 第一階非斉次方程式(積分因子法) / きなこ
理解できました。
自分でも計算したところ，やはり教科書の解答が間違っていました。丁寧な解説誠にありがとうございます。
No.76177 - 2021/06/27(Sun) 13:35:56
★ (No Subject) / あ
2番がわからないです
No.76144 - 2021/06/26(Sat) 22:37:45
☆ Re: / 関数電卓
?A 取りあえず
　1÷2÷3−4＋5＝7/6
他に解があるかどうかは，確認していません。
No.76145 - 2021/06/26(Sat) 23:11:33
☆ Re: / あ
ありがとうございます！
No.76147 - 2021/06/26(Sat) 23:22:47
☆ Re: / らすかる
他に解はありませんでした。
No.76148 - 2021/06/26(Sat) 23:26:08
★ (No Subject) / 数学苦手
この問題は同一上の面の点は直線で結ぶより、ABを直線で結んで、そのまま最終地点のBの右下に行って、そこから、Cと結ぶところまで分かりましたがそれ以上が分かりません。教えてくれませんか？
No.76141 - 2021/06/26(Sat) 22:19:36
☆ Re: / 数学苦手
あ、正解の切り口の点はEなのですがなぜEなのが分からなくて…教えて貰えると嬉しいです。
No.76149 - 2021/06/26(Sat) 23:54:13
☆ Re: / ヨッシー
切断した時の外観はこの通りです。


これを各段に分解すると、こうなります。


さらに１段ずつ切られている小さい立方体を黄色に塗ったのがこれです。


以上より、切られた小さい立方体は
　12＋9＋3＝24(個)
です。

なぜＥを通るかは、ＡＢとＣＥが平行になるからです。
No.76151 - 2021/06/27(Sun) 00:10:19
☆ Re: / 数学苦手
他のEの右とか左だと延長していけば交わってしまうのですね
No.76154 - 2021/06/27(Sun) 00:38:27
☆ Re: / 数学苦手
実際に伸ばしたら分かるのだと思いますがフリーハンドで書くと間違いそうです
No.76155 - 2021/06/27(Sun) 00:52:36
☆ Re: / 数学苦手
こんな感じでいつか交わるんですね
No.76164 - 2021/06/27(Sun) 10:53:50
☆ Re: / 数学苦手
この同一平面上の2点を結んだ線分が黄緑の部分ですね！
No.76166 - 2021/06/27(Sun) 11:03:02
☆ Re: / ヨッシー
>こんな感じでいつか交わるんですね
平行な平面上に描かれた２直線なので、交わりませんよ。
No.76170 - 2021/06/27(Sun) 11:54:48
☆ Re: / 数学苦手
CEじゃなくてC◯のときですが交わらないですか？
CEのときは交わらないですよね
No.76198 - 2021/06/27(Sun) 16:10:09
☆ Re: / 数学苦手
あ、それも平行な平面上だから交わらないんですね
No.76199 - 2021/06/27(Sun) 16:20:00
☆ Re: / 数学苦手
でもABとC◯(E以外)だと平行にはならないから間違いですね
No.76200 - 2021/06/27(Sun) 16:22:04
☆ Re: / 数学苦手
平行じゃないなら交わるから、間違いじゃないですか？
No.76201 - 2021/06/27(Sun) 16:23:15
☆ Re: / 数学苦手
ねじれってやつもあるのでしょうか…
No.76202 - 2021/06/27(Sun) 16:23:50
☆ Re: / ヨッシー
はい。ねじれの位置です。
もちろん、平行じゃないのでダメです。
No.76209 - 2021/06/27(Sun) 18:21:38
☆ Re: / 数学苦手
この問題のような場合は実際にねじれの線を引いた見た目で判断するしかないのでしょうか。
No.76216 - 2021/06/27(Sun) 20:55:50
☆ Re: / 数学苦手
たまたまネットで調べていたら、出てきましたがこのような感じなんですかね。
No.76235 - 2021/06/28(Mon) 15:02:34
☆ Re: / ヨッシー
平行な線を引きたいんですよね？
だったら、ねじれは気にする必要はありません。

（離れた２平面では）平行でなければねじれなんですから。
No.76236 - 2021/06/28(Mon) 15:17:38
☆ Re: / 数学苦手
ABを通らなければいけないので、延長上にある最右下の点をDとして、そこからCを通らないといけないので、Cにつなげて、そこからどこを経由して、行けばいいか分からなくて、Eの下の一例に並ぶ、Cと同じ位置の点だとADと見た感じだけでも平行じゃないと分かりますがEと同じ横一例にある、それぞれの立方体の点は書くかイメージしないと分からないなと思いました
No.76244 - 2021/06/28(Mon) 16:38:25
☆ Re: / ヨッシー

これだと大変ですが、

これなら、ＡＢに平行な線がどこを通るかは容易に想像できるでしょう。
それとも

ここまで描かないとダメですか？
No.76245 - 2021/06/28(Mon) 16:56:56
☆ Re: / 数学苦手
色付きの丸や線を引こうとしたらダメでした。すいません(⌒-⌒; )
最後の表面と裏だけのやつでイメージしたら、たしかにE以外は徐々に接しそうになり、ねじれの位置ですね。
No.76248 - 2021/06/28(Mon) 18:02:17
☆ Re: / ヨッシー
>接しそうになり
離れた平面上に描かれた直線ですので、平面間の距離(この場合は小さい四角４つ分）以下には近づきません。
No.76250 - 2021/06/28(Mon) 18:25:27
★ 命題 / あ
よくわからないのでくわしく教えてください
No.76137 - 2021/06/26(Sat) 20:48:41
☆ Re: 命題 / ヨッシー
集合の要素で考えると、
　｛１，−３｝　と　｛−３｝
です。
　｛１，−３｝⇒｛−３｝　は偽
　｛−３｝⇒｛１，−３｝　は真
なので、カッコに入るのは　「必要条件」です。
No.76138 - 2021/06/26(Sat) 21:26:20
☆ Re: 命題 / あ
なぜ｛−３｝だけなのですか？
No.76139 - 2021/06/26(Sat) 21:33:51
☆ Re: 命題 / ヨッシー
他に何がありますか？

それ以前に、
　f(x)＝(x^2＋2x−3)/(x−1)
の定義域は何ですか？
No.76140 - 2021/06/26(Sat) 22:11:17
☆ Re: 命題 / あ
分解したらこうなるので1と−1と3かな？と思いまして質問しました
No.76142 - 2021/06/26(Sat) 22:33:16
☆ Re: 命題 / ヨッシー
それだと、
　(分子)＝ｘ^2−2x−3
ですね。
No.76143 - 2021/06/26(Sat) 22:36:39
☆ Re: 命題 / あ
理解力が悪くわからないのですいませんが簡潔にまとめていただきませんか？
No.76146 - 2021/06/26(Sat) 23:21:20
☆ Re: 命題 / ヨッシー
分解したらこうなるので、の式が間違っています。
正しくは
　(x+3)(x-1)/(x-1)
です。
よって、ｘ＝−１やｘ＝３は解ではないですし、ｘ＝１ は論外です。
No.76153 - 2021/06/27(Sun) 00:16:33
☆ Re: 命題 / あ
たしかにそうですねありがとうございます
No.76156 - 2021/06/27(Sun) 01:02:25
★ (No Subject) / あ
この問題の解答解説をお願いします。図などもあると嬉しいです。
No.76135 - 2021/06/26(Sat) 18:26:56
☆ Re: / ヨッシー
ＯＰ＝ｓａ＋ｔｂ
のｓ＋ｔ の値およびｓ、ｔの正負による
点Ｐの存在範囲は下図のようになります。

この問題では、ｓ≧０、ｔ≧０ なので、この範囲になります。

1≦ｓ＋ｔ≦2 のとき、点Ｐの存在範囲は図のようになり、
領域Ｄの面積は３です。・・・ア

1≦ｓ＋２ｔ≦3 のとき
ＯＢの中点をＢ’とし、ＯＢ’＝ｂ’ とすると
　ｂ＝２ｂ’
より
　ＯＰ＝ｓａ＋２ｔｂ’
と書けるので、Ｐの存在範囲は図のようになります。

領域Ｅは、△ＯＡＢ’(面積1/2) の８倍なので、
面積は４です。　・・・イ

点Ｃは
ＯＰ＝ｓａ＋ｔｂ　において
ｓ＋ｔ＝２　かつ　ｓ＋２ｔ＝３
を満たす点なので、ｓ＝ｔ＝１
よって、ＯＣ＝ａ＋ｂ
となり、ＣはＭＮ’の中点となります。　１：１　・・・ウ

以上より、
　Ｄ∩Ｅ　の面積は 5/2　・・・エ
　Ｄ∪Ｅ　の面積は 9/2　・・・オ
となります。
No.76136 - 2021/06/26(Sat) 20:26:35
☆ Re: / あ
ありがとうございます😊再度考えてみます
No.76173 - 2021/06/27(Sun) 13:08:15
★ 第一階非斉次方程式(定数変化法) / きなこ
y'-yexpx=expx
が途中まで書いたのですが，解けません。
誰かわかる方いましたら，教えて頂けないでしょうか。
解き方は定数変化法でお願いします。
解答は
y=-1+Cexp(expx)
です。よろしくお願いします。
No.76132 - 2021/06/26(Sat) 16:46:49
☆ Re: 第一階非斉次方程式(定数変化法) / X
C[2]'の指数部をまとめてしまったので、
却って分かりにくくなってしまっていますね。
C[2]'=exp(x-expx)
より
C[2]=∫exp(x-expx)dx
ここで
expx=u
と置くと
expxdx=du
で
C[2]=∫exp(-u)du
=-exp(-u)+C
=-exp(-expx)+C
(Cは任意定数)
よって
y=C[2]exp(expx)=-1+Cexp(expx)
となります。
No.76133 - 2021/06/26(Sat) 18:02:02
☆ Re: 第一階非斉次方程式(定数変化法) / きなこ
解説ありがとうございます。自分は，部分積分でやろうとしたのですが，解けませんでした。やはり，このような積分は部分積分ではできないのでしょうか。また，どのようなときに置換積分を用いるのかなどがあれば，教えて頂きたいです。
No.76134 - 2021/06/26(Sat) 18:19:43
★ 数学　場合の数 / honey
問題の解き方をある考えで解きましたが上手くいきません・・・。なぜこの解き方ではダメなのかアドバイスをお願いします。


問　異なる６個の指輪を3人A君、B君、C君に少なくとも1個配る配り方は何通りあるか？


余事象の考え方をしないで解いた解答です。

解答　まず区分けする指輪のうち3個をA君、B君、C君に配るので順列6P3=120(通り)

残った3個の指輪をA君、B君、C君に配る方法はそれぞれ3通りあるので、3×3×3=27(通り)

よって、120×27=3240(通り)

実際の解答は540(通り)です。

3240÷6をすると540が出るのですが、なぜ割るのか、それとも根本的に間違いなのかわかりません。

よろしくおねがいします。
No.76130 - 2021/06/26(Sat) 15:09:54
☆ Re: 数学　場合の数 / IT
6で割って正解と一致するのは、たまたまだと思います。

指輪を１，２，３，４，５，６とします。
A,B,Cに配る指輪を順に{ 　｝、｛　｝、｛　｝と並べて書きます。

例えば｛１｝、｛２｝、｛３，４，５，６｝は、
まず３個の指輪1,2,3を配る場合、1,2,4を配る場合、1,2,5を配る場合、1,2,6を配る場合で重複して数えています。

{1},{2,3},{4,5,6}
{1,2},{3,4},{5,6} は,どういう場合として重複して数えることになるか考えてみてください。

なお、
パターン{1},{2},{3,4,5,6}は、(6×5)×3=90 通り
パターン{1},{2,3},{4,5,6}は、6×C(5,2)×3!=360 通り
パターン{1,2},{3,4},{5,6}は、C(6,2)×C(4,2)=90 通り
です｡
No.76131 - 2021/06/26(Sat) 16:13:04
☆ Re: 数学　場合の数 / honey
すっきりしました。
ありがとうございました。
No.76163 - 2021/06/27(Sun) 10:43:48
★ 数学 / 一般中学生
画像の問題が分かりません…詳しい解説お願いします。
5,6番目の問題です。
No.76125 - 2021/06/26(Sat) 12:41:16
☆ Re: 数学 / 一般中学生
書き込みは無視して下さい。
No.76127 - 2021/06/26(Sat) 13:12:55
☆ Re: 数学 / ヨッシー
５
(1)
各100g なので、含まれている食塩の重さはそれぞれｘｇ、ｙｇです。
以下、食塩の重さで考えます。(単位はｇ）
最初　容器Ａ　ｘ、容器Ｂ　ｙ
ＡからＢに移る食塩　x/2
ＢからＡに移る食塩　(x/2＋y)×1/3＝x/6＋y/3
１回目の後　容器Ａ　2x/3＋y/3　容器Ｂ　x/3＋2y/3　　・・・答え
(2)
　ｘに2x/3＋y/3　ｙにx/3＋2y/3
を代入すると
２回目の後　容器Ａ　2(2x/3＋y/3)/3＋(x/3＋2y/3)/3＝5x/9＋4y/9
　　　　　　容器Ｂ　(2x/3＋y/3)/3＋2(x/3＋2y/3)/3＝4x/9＋5y/9
条件より
　2x/3＋y/3＝16　5x/9＋4y/9＝14
これを解いて
　ｘ＝２２，ｙ＝４

６
女子の負け試合数をｘとすると、
　男子　32-x勝 x-2敗
　女子　40-x勝 x敗
もし・・・のとき
　女子　40−3x/4勝 3x/4敗
このとき、男女の勝ち数の合計は
　(32-x)＋(40−3x/4)＝44
これを解いて、ｘ＝１６
実際は　男子16勝　女子24勝
No.76128 - 2021/06/26(Sat) 13:41:46
★ 数lll / ポパイ
次の等式を満たす連続関数f(x)と定数aを求めよ.
∫[0→2x+a]f(t)dt=1-e^x

この問題がどうしてもわかりません。模範解答教えてください。
No.76117 - 2021/06/26(Sat) 11:17:53
☆ Re: 数lll / IT
・両辺をx で微分するとどうなりますか？
　分かりにくかったらs=2x+a とおいてs で微分してもいいかも

・左辺の定積分区間の幅が0になるようなxを考えると左右の式はどうなりますか？
No.76120 - 2021/06/26(Sat) 11:42:14
☆ Re: 数lll / ポパイ
·両辺をx で微分するとどうなりますか？
>f(2x+a)×2=-e^xになりました。合ってますか？

・定積分区間の幅が0になるようなxを考えると左右の式はどうなりますか？
>両辺ともに0ということですか？
No.76122 - 2021/06/26(Sat) 11:55:28
☆ Re: 数lll / IT
そうですね。
No.76124 - 2021/06/26(Sat) 12:01:44
★ 数A / 高1
(2)の数珠順列の問題です。公式に当てはめてしまったら、答えが割りきれませんでした。もし場合わけが必要ならどのように場合わけすればいいのか教えてください。
No.76115 - 2021/06/26(Sat) 09:34:39
☆ Re: 数A / 高1
問題です。
No.76116 - 2021/06/26(Sat) 09:35:49
☆ Re: 数A / けんけんぱ
公式というのがどんなものか分かりませんが、何か条件があるのでは？その条件を理解していないのなら、公式は使わないほうが良いと思います。
純粋に考えてみると、(1)で白1個を軸にしてすべての並べ方を考えたことと思います。数珠というのは立体なので裏返して同じものは同じですから、左右非対称のものは必ずペアになるはずです。なので半分にします。左右対称のものは１通りと数えているはずですから、半分にする必要はなく、そのまま1通りでよいです。
No.76121 - 2021/06/26(Sat) 11:44:03
☆ Re: 数A / 高1
やってみたら、わかりましたー。ご享受ありがとうございました。
No.76123 - 2021/06/26(Sat) 12:01:26
☆ Re: 数A / けんけんぱ
公式に頼るのはいいのですが、公式を使おうと考えたとたん思考が停止してしまうのは避けたいですね。
No.76126 - 2021/06/26(Sat) 12:56:02
★ (No Subject) / 数学苦手
この手の問題ってどのように考えますか？教えてください。
No.76110 - 2021/06/25(Fri) 23:59:08
☆ Re: / 数学苦手
一応このようなポイント集を見ましたが今ひとつ分かりません。
No.76111 - 2021/06/26(Sat) 00:00:22
☆ Re: / 数学苦手
面ACDに平行だからACD内には点が入らないようにしないとダメですね。
No.76112 - 2021/06/26(Sat) 01:24:57
★ 同次系微分方程式 / きなこ
写真の同次系微分方程式の解き方をわかる方いましたら教えてほしいです。途中まで書いたのですが，その先どうすればいいかわかりません。
解答は
y=xexp(Cx+1)
です。よろしくお願いいたします。
No.76109 - 2021/06/25(Fri) 23:52:11
☆ Re: 同次系微分方程式 / WIZ
z を x の関数として e^z = y/x とおきます。
⇒ y = x(e^z)
⇒ dy/dx = (1+xz')(e^z)

dy/dx = -(y/x)log(x/y) = (y/x)log(y/x)
⇒ (1+xz')(e^z) = (e^z)log(e^z) = z(e^z)
⇒ 1+xz' = z
⇒ z'/(z-1) = 1/x
⇒ log(|z-1|) = log(|x|)+D (Dは積分定数)
⇒ z-1 = Cx (C = ±(e^D) つまりCは任意定数)
# C = 0も可。これは z'/(z-1) の分母を 0 とする z = 1 という特異解に相当。

よって、
y = x(e^z) = x(e^(Cx+1))
となります。
No.76118 - 2021/06/26(Sat) 11:23:37
☆ Re: 同次系微分方程式 / きなこ
理解できました。
丁寧な解説誠にありがとうございます。
No.76129 - 2021/06/26(Sat) 13:50:17
★ (No Subject) / 数学苦手
この問題について、質問です。最初は見えてない底面も含めて、表の見えている部分と足したものを計算してましたが選択肢から間違えていると考え、見えている角度によって、違うのだと感じ、真上と真下、正面と左右と裏で数が違い、真上と真下は出っ張りが分からなくなっているため、一番下の立方体で9×9で81個、正面と左右と裏は1+3+5+7+9=25となるでそれぞれの数に見え方、81は真上と真下分で81×2、25は正面と左右(左と右の2つ)と裏の4つ分で25×4で162+100=262で合ってますか？
No.76098 - 2021/06/25(Fri) 20:37:11
☆ Re: / ヨッシー
途中の文章、特に「正面と左右と裏で数が違い」辺りは、意味不明ですが、
最後の「真上と真下・・・」以降だけなら満点です。
No.76101 - 2021/06/25(Fri) 21:01:12
☆ Re: / 数学苦手
真上と真下で1セット、正面と左右と裏で1セットと考えて、それぞれが見える数が同じという意味で書きたかったです(^◇^;)
No.76103 - 2021/06/25(Fri) 21:43:36
★ (No Subject) / 数学苦手
この121番の問題について質問です。
No.76096 - 2021/06/25(Fri) 19:57:09
☆ Re: / 数学苦手
この上から3段目と上から2段目の式がどうやって導かれたか分かりません。教えてください。2段目の式はなんとなく考えてみましたが合っているか分かりません
No.76097 - 2021/06/25(Fri) 19:59:00
☆ Re: / ヨッシー
一番小さいマスの１辺を１としたときに、
太線の長さの合計を出せば良いところまでは理解されてますか？

長さ３の縦線が２本、長さ３の横線が２本なので、
　３×２＋３×２＝１２
です。３×２と２×３をどう使い分けているかは筆者でないとわかりません。
No.76100 - 2021/06/25(Fri) 20:57:37
☆ Re: / 数学苦手
なるほど。なんか解説の方がわかりにくいですね。5×4+5×4でもいいんですね
No.76106 - 2021/06/25(Fri) 21:47:19
★ (No Subject) / なごみ
中学生です。画像の問題の解説を詳しくお願いします！書き込みは無視してください！
No.76092 - 2021/06/25(Fri) 17:37:00
☆ Re: / X
中学数学としてはかなり難度の高い問題ですね。
差し当たって(3)まで。
(1)
点Aから辺BCに下した垂線の足をHとすると
三平方の定理により
AH=√(AB^2-BH^2)=√{(4[cm])^2-(2[cm])^2}
=2√3[cm]
よって求める面積をTとすると
T=(1/2)×BC×AH=(1/2)×4[cm]×2√3[cm]
=4√3[cm^2]

(2)
△BCDの重心をIとすると(1)の計算過程から
BI=(2/3)AH=(4/3)√3[cm]
∴△ABIにおいて三平方の定理により
AI＝√(AB^2-AI^2)=4√(2/3)[cm]
よって正四面体ABCDの体積をVとすると
V=(1/3)×T×AI=(1/3)×(4√3[cm^2])×4√(2/3)[cm]
=(16/3)√2[cm^3]

(3)
まず正四面体ABCDに内接している球の半径を求めます。
その球の半径をr、中心をOとすると
V=(正四面体OABCの体積)+(正四面体OABDの体積)
+(正四面体OACDの体積)+(正四面体OBCDの体積)
=(1/3)rT+(1/3)rT+(1/3)rT+(1/3)rT
=(4/3)rT
これに(1)(2)の結果を代入すると
(4/3)r×4√3=(16/3)√2
これより
r=√(2/3)[cm]
よって△EFGと球との接点をJとすると
AJ:AI=(AI-2r):AI
={4√(2/3)-2√(2/3)}[cm]:4√(2/3)[cm]
=1:2
となるので、正四面体AEFGと正四面体ABCDの相似比も
1:2
よって正四面体AEFGと正四面体ABCDの対応する面の
面積の比は
1^2:2^2=1:4
となるので、(1)の結果から求める面積は
(1/4)T=√3[cm^2]
No.76093 - 2021/06/25(Fri) 18:39:22
☆ Re: / X
(4)だけは難度が別格ですね。

(4)
AP=CQ=CR=AS=x[cm]
と置くと、△APS,△CQRは合同な正三角形であり
SP=QR=x[cm]
又、△BPQ,△DSRは合同な正三角形であり
PQ=RS=BP
=AB-x[cm]
=4-x[cm]
よって求める面積をUとすると
U=x(4-x)[cm^2] (A)
ということでxを求めることを考えます。

辺BDの中点をJとし、正四面体ABCD、
内接している球、四角形PQRSの
△ACJを含む平面による断面を考えます。
このとき,四角形PQRSの断面は辺AJ,CJ上に
端点を持つ線分となります。
この辺AJ,CJ上の端点をそれぞれP',Q'とすると
球の断面である円は△P'Q'Jの内接円となります。
(ここまではよろしいですか？)

このとき
P'Q'=PQ=4-x[cm]
又,
AP'=CQ'=(√3)x/2[cm]
AJ=CJ=AH=2√3[cm]
ですので
P'J=C'J=2√3-(√3)x/2[cm]
=(4-x){(√3)/2}[cm]
又、△P'Q'Jの内接円の半径を
aとすると
a=r=√(2/3)[cm]
以上から、△P'Q'Jの面積を2通りで
表すことにより、xについての
方程式を立てます。
まず,内接円の半径に注目することにより
(△P'Q'Jの面積)=(1/2)a(P'Q'+P'J+Q'J)
=(1/2)×{√(2/3)}(4-x)(√3+1) [cm^2]
=(1/√6)(4-x)(√3+1) [cm^2] (B)
一方、△P'Q'Jは二等辺三角形ですので
P'Q'の中点をKとすると△PJKは直角三角形
ですので、三平方の定理により
JK=√(P'J^2-P'K^2)
=√{(4-x){(√3)/2}}^2-{(4-x)/2}^2}
=(4-x)/√2 [cm^2]
よって
(△P'Q'Jの面積)=(1/2)×P'Q'×JK
={1/(2√2)}(4-x)^2 (C)
(A)(B)から
(1/√6)(4-x)(√3+1)={1/(2√2)}(4-x)^2
これより
2(4-x)(√3+1)=(√3)(4-x)^2
(√3)(4-x)^2-2(4-x)(√3+1)=0
(4-x){(√3)(4-x)-2(√3+1)}=0
よって
4-x=0又は(√3)(4-x)-2(√3+1)=0
なので
x=0[cm],4-2(√3+1)/√3[cm]
整理して
x=0[cm],2-2/√3[cm]
ここで条件からxは0[cm]ではないので
x=2-2/√3[cm]
これを(A)に代入して
U=(2-2/√3)(2+2/√3)[cm^2]
=4-4/3[cm^2]
=8/3[cm^2]
となります。
(もっと簡単な方法があるかもしれません。)
No.76095 - 2021/06/25(Fri) 19:49:15
★ 論理式証明 / と
suc:N→Nでsuc(n)＝n＋1
P(x)を命題関数としたときにA＝{x∈N|P(x)}とする。このとき数学的帰納法の原理を用いて
(P(1)∧(∀k∈N,(P(k)→P(k＋1))))→(∀n∈N,P(n))が真であると示せという問題なのですがどうやって進めるべきか教えてください。

Nは自然数全体の集合です。太文字が打てないのでわかりにくいと思いますが宜しくお願いします。
No.76091 - 2021/06/25(Fri) 16:31:56
☆ Re: 論理式証明 / WIZ
数学的帰納法の原理とは、
「自然数の集合 X があり、 1 ∈ X かつ、
ある自然数 k について k ∈ X ならば (k+1) ∈ X といえるのなら、X は全ての自然数を含む。」
というものです。つまり
∀X ⊂ N, {(1 ∈ X) ∧ (∀k ∈ N, (k ∈ X) ⇒ ((k+1) ∈ X))} ⇒ (X = N)
となりますかね。

先ず A := {x ∈ N | P(x)} より、A ⊂ N は明らかですね。

それで、質問の論理式の前半 P(1) ∧ (∀k ∈ N, (P(k) ⇒ P(k+1))) の
P(1) を 1 ∈ A に、P(k) を k ∈ A に、P(k+1) を (k+1) ∈ A に置き換えてみると、
(1 ∈ A) ∧ (∀k ∈ N, ((k ∈ A) ⇒ ((k+1) ∈ A))) となり、
これは数学的帰納法の原理より A = N と同値ですね。

質問の論理式の後半 ∀n ∈ N, P(n) も P(n) を n ∈ A に置き換えてみると、
∀n ∈ N, n ∈ A となり、これも A = N と同値ですね。

よって、質問の論理式全体は (A = N) ⇒ (A = N) とトートロジーになり、
真であると言えると思います。
No.76105 - 2021/06/25(Fri) 21:44:13
★ 同次系微分方程式 / きなこ
2y(dx/dy)=x+y
の解き方を教えてほしいです。
解答は((2y+x)^1/3)(y-x)^2/3=Cx^2
です。よろしくお願いします。
No.76086 - 2021/06/25(Fri) 13:20:14
☆ Re: 同次系微分方程式 / X
確認ですが
2y(dy/dx)=x+y
ではなくて
＞＞2y(dx/dy)=x+y
で問題は正しいのですか？
No.76087 - 2021/06/25(Fri) 13:42:15
☆ Re: 同次系微分方程式 / きなこ
申し訳ございません。
2y(dy/dx)=x+yです
よろしくお願いします。
No.76089 - 2021/06/25(Fri) 15:40:02
☆ Re: 同次系微分方程式 / 関数電卓
　2yy'＝x＋y …(1)
y＝ux …(2) と置くと y'＝u'x＋u …(3)
(2)(3)を(1)に代入し順次変形すると
　2ux(u'x＋u)＝(1＋u)x
　2u(u'x＋u)＝1＋u
　2uu'x＝1＋u−2u^2
　{2u/(1＋u−2u^2}u'＝1/x …(4)
(4)の左辺を部分分数分解し整理すると
　2{1/(2u＋1)＋1/(u＋1)}u'＋3/x＝0
両辺を積分し
　log|2u＋1|＋2log|u−1|＋3log|x|＝C'
∴ (2u＋1)(u−1)^2･x^3＝C …(5)
u＝y/x を戻して，求める一般解は
　(x＋2y)(x−y)^2＝C
No.76102 - 2021/06/25(Fri) 21:32:31
☆ Re: 同次系微分方程式 / 関数電卓
解曲線です。
No.76107 - 2021/06/25(Fri) 22:18:03
☆ Re: 同次系微分方程式 / きなこ
関数電卓さん
理解できました。わかりやすい解説誠にありがとうございます。
No.76108 - 2021/06/25(Fri) 23:42:39
★ 線形代数 / anonymous
この問題の解説をお願いします！

（１）から手つかずの状況で困っております。。。泣
No.76078 - 2021/06/24(Thu) 23:24:22
☆ Re: 線形代数 / GandB
> （１）から手つかずの状況で
　ではその(1)だけ。
No.76083 - 2021/06/25(Fri) 08:28:36
☆ Re: 線形代数 / ヨッシー
こちらは多少の行列演算は出来るという前提で。

(1)
条件より

と書けます。

の逆行列

を右から掛けて、

となります。

(2)
固有方程式

を解くと、
　λ＝０，３，５
これらの固有値を、Ａの対角から引いた、

の代表的な固有ベクトルは、それぞれ

固有空間をどう表現するかは、テキストを見てください。

(3)
　f(V)＝ＡＶ＝Ｖ＝ＥＶ　（Ｅは単位行列)
より
　(Ａ−Ｅ)Ｖ＝０
１はＡの固有値でないので、Ａ−Ｅは正則。
よって、Ｖ＝０ のみが解となります。
No.76084 - 2021/06/25(Fri) 08:59:34
★ 数学3微分 / とろけたのうみそ
指数関数の微分でa^xはloga×a^x(a＞0かつa≠1)と書いてありました。aが負のときとa＝1は何故微分できないのですか？
No.76069 - 2021/06/24(Thu) 17:29:42
☆ Re: 数学3微分 / ヨッシー
微分できないと言うより、関数が定義できるかどうかという話になります。

ｙ＝ａ^x という関数において、ａ＜０ のときは、そもそも定義されていません。
ａ＝０のときも同様です。０^(-1) が計算できるかを考えればわかると思います。
ａ＝１のときは、ｙ＝１ という定数関数になりそうですが、
ｙ＝ａ^x と逆関数　ｙ＝log[a]ｘ とは表裏一体のもので、
　ｙ＝log[1]ｘ
は、関数とならないので、ａ＝１ も除かれます。

No.76070 - 2021/06/24(Thu) 17:44:19
☆ Re: 数学3微分 / とろけたのうみそ
なるほど！わかりやすく説明してくれてありがとうございます！
No.76071 - 2021/06/24(Thu) 17:50:48
★ 双子素数に関する近似式（予想） / CEGIPO
今回は予想のみです。

例によってプログラムによる実験結果で
数学的裏打ちは全くできていませんが
結構興味深い実験結果なので覚え書きを兼ねて
載せておきます。

以下、

※a,bを正数とし、aのb乗をa^bで表します。
※a,bの積をabまたはa*bまたはa・bで表します。

※用語注：「双子素数生成数」

以前も触れましたが次の命題Xが証明済です。

a,bを任意の自然数として

f1(a,b)=6ab-a-b
f2(a,b)=6ab+a-b
f3(a,b)=6ab+a+b

と置く時

『命題X:

自然数nについて(6n-1,6n+1)が双子素数になる。
⇔
nはf1(a,b),f2(a,b),f3(a,b)のいずれの形でも表せない。』

そこで上記の(6n-1,6n+1)が双子素数になる場合の
自然数nを「双子素数生成数」と呼ぶ事にします（便宜上）。

/////

この時、プログラム実験の結果、

次の近似式が成り立つように感じました。

予想：

小さい方から順番に数えてm番目の双子素数生成数を
【n】(m)と書く時
次の近似式が成り立つ（かも知れない）。

(係数定数0.46559はおおよそ)
(指数定数1.715もおおよそ)
(対数はここでは自然対数とします)

/************************************************/
近似式：

【n】(m)≒0.46559*m*((log(m))^1.715) ...[Y1]
/************************************************/

誤差は概ね0.1％以内位になっているようです。
（あくまでも有限個の要素でのおおよその実験結果です。）


興味のある方は追確認して更に微調整してみてください。


（参考：プログラム出力結果（間引きしました））

.....
6700001番目★☆双子素数生成数n=351467967,近似値=351464741,近似比率=1.00000917
6710001番目★☆双子素数生成数n=352052825,近似値=352046598,近似比率=1.00001768
6720001番目★☆双子素数生成数n=352631562,近似値=352628544,近似比率=1.00000855
6730001番目★☆双子素数生成数n=353212955,近似値=353210579,近似比率=1.00000672
6740001番目★☆双子素数生成数n=353789777,近似値=353792703,近似比率=0.99999172
6750001番目★☆双子素数生成数n=354370397,近似値=354374915,近似比率=0.99998724
6760001番目★☆双子素数生成数n=354951655,近似値=354957217,近似比率=0.99998432
6770001番目★☆双子素数生成数n=355540108,近似値=355539607,近似比率=1.0000014
6780001番目★☆双子素数生成数n=356129392,近似値=356122085,近似比率=1.00002051
6790001番目★☆双子素数生成数n=356717223,近似値=356704652,近似比率=1.00003524
6800001番目★☆双子素数生成数n=357299717,近似値=357287307,近似比率=1.00003473
6810001番目★☆双子素数生成数n=357875045,近似値=357870050,近似比率=1.00001395
6820001番目★☆双子素数生成数n=358459178,近似値=358452881,近似比率=1.00001756
6830001番目★☆双子素数生成数n=359039797,近似値=359035800,近似比率=1.00001113
6840001番目★☆双子素数生成数n=359617237,近似値=359618806,近似比率=0.99999563
6850001番目★☆双子素数生成数n=360194700,近似値=360201900,近似比率=0.99998
6860001番目★☆双子素数生成数n=360784225,近似値=360785082,近似比率=0.99999762
6870001番目★☆双子素数生成数n=361368723,近似値=361368350,近似比率=1.00000103
6880001番目★☆双子素数生成数n=361952300,近似値=361951706,近似比率=1.00000163
6890001番目★☆双子素数生成数n=362535598,近似値=362535149,近似比率=1.00000123
6900001番目★☆双子素数生成数n=363121257,近似値=363118679,近似比率=1.00000709
6910001番目★☆双子素数生成数n=363705277,近似値=363702296,近似比率=1.00000819
6920001番目★☆双子素数生成数n=364294315,近似値=364286000,近似比率=1.00002282
6930001番目★☆双子素数生成数n=364879158,近似値=364869790,近似比率=1.00002567
6940001番目★☆双子素数生成数n=365467718,近似値=365453666,近似比率=1.00003844
6950001番目★☆双子素数生成数n=366049145,近似値=366037629,近似比率=1.00003145
6960001番目★☆双子素数生成数n=366627635,近似値=366621679,近似比率=1.00001624
6970001番目★☆双子素数生成数n=367218292,近似値=367205814,近似比率=1.00003397
6980001番目★☆双子素数生成数n=367797565,近似値=367790035,近似比率=1.00002047
6990001番目★☆双子素数生成数n=368378297,近似値=368374342,近似比率=1.00001073
7000001番目★☆双子素数生成数n=368960478,近似値=368958735,近似比率=1.00000472
7010001番目★☆双子素数生成数n=369545335,近似値=369543214,近似比率=1.00000573
7020001番目★☆双子素数生成数n=370123497,近似値=370127778,近似比率=0.99998843
7030001番目★☆双子素数生成数n=370705825,近似値=370712428,近似比率=0.99998218
7040001番目★☆双子素数生成数n=371295682,近似値=371297163,近似比率=0.99999601
7050001番目★☆双子素数生成数n=371874808,近似値=371881983,近似比率=0.9999807
7060001番目★☆双子素数生成数n=372457437,近似値=372466888,近似比率=0.99997462
7070001番目★☆双子素数生成数n=373051243,近似値=373051878,近似比率=0.99999829
7080001番目★☆双子素数生成数n=373641840,近似値=373636953,近似比率=1.00001307
7090001番目★☆双子素数生成数n=374226535,近似値=374222112,近似比率=1.00001181
7100001番目★☆双子素数生成数n=374807748,近似値=374807357,近似比率=1.00000104
7110001番目★☆双子素数生成数n=375389745,近似値=375392685,近似比率=0.99999216
7120001番目★☆双子素数生成数n=375978067,近似値=375978098,近似比率=0.99999991
7130001番目★☆双子素数生成数n=376564577,近似値=376563596,近似比率=1.0000026
7140001番目★☆双子素数生成数n=377147085,近似値=377149177,近似比率=0.99999445
7150001番目★☆双子素数生成数n=377738175,近似値=377734843,近似比率=1.00000882
7160001番目★☆双子素数生成数n=378325637,近似値=378320592,近似比率=1.00001333
7170001番目★☆双子素数生成数n=378911673,近似値=378906426,近似比率=1.00001384
7180001番目★☆双子素数生成数n=379494188,近似値=379492343,近似比率=1.00000486
7190001番目★☆双子素数生成数n=380078172,近似値=380078343,近似比率=0.99999954
...
No.76067 - 2021/06/24(Thu) 16:41:37
☆ Re: 双子素数に関する近似式（予想） / CEGIPO
※実験結果の近似値（提示した予想近似式により求めたもの）
は小数点以下を切り捨てて整数値に簡略化してあります。
（ちょっと書き忘れました。）
No.76073 - 2021/06/24(Thu) 18:29:33
☆ Re: 双子素数に関する近似式（予想） / CEGIPO
> ※実験結果の近似値（提示した予想近似式により求めたもの）
> は小数点以下を切り捨てて整数値に簡略化してあります。
> （ちょっと書き忘れました。）

※追記：
近似比率は各m毎の「双子素数生成数/近似値」
ですがこちらの計算上の近似値は切り捨て前の
値で計算して近似比率を求めてあります。
No.76075 - 2021/06/24(Thu) 18:37:29
☆ Re: 双子素数に関する近似式（予想） / らすかる
約1.49407×10^9992番目の双子素数生成数は
約10^10000、上の近似式の計算結果は
約2.104×10^9999なので近似比率は約5
これは近似と言えるでしょうか。

# もし私の計算間違いならご容赦下さい。
No.76076 - 2021/06/24(Thu) 19:40:20
☆ Re: 双子素数に関する近似式（予想） / CEGIPO
> 約1.49407×10^9992番目の双子素数生成数は
> 約10^10000、上の近似式の計算結果は
> 約2.104×10^9999なので近似比率は約5
> これは近似と言えるでしょうか。
>
> # もし私の計算間違いならご容赦下さい。



あまり大きな数での検証はできてないのですが

> 約1.49407×10^9992番目の双子素数生成数は
> 約10^10000

というのはどうやって求められましたでしょうか？
提示した近似式はあくまでも予想なので
数字が大きくなると「ずれていく」可能性はあるとは
思いますが。。
No.76079 - 2021/06/25(Fri) 06:15:31
☆ Re: 双子素数に関する近似式（予想） / らすかる
↓このページによると
https://mathworld.wolfram.com/TwinPrimeConjecture.html
x以下の双子素数の個数は
2Π2∫[2〜x]dx/(logx)^2
（ただしΠ2=0.66016181…, https://oeis.org/A005597）
すなわち
1.32032363×∫[2〜x]dx/(logx)^2
と表されます。
そして↓こちらのサイトから
https://www.wolframalpha.com/input/?i=int+%281%2F%28log%28x%29%29%5E2%29+dx&lang=ja
∫dx/(logx)^2=li(x)-x/logx+C　（li(x)は対数積分）
ですから、x以下の双子素数の個数は
1.32032363×{li(x)-x/logx-li(2)+2/log2}
と表されることになります。
このxに6×10^10000を代入すると
https://www.wolframalpha.com/input/?i=1.32032363%C3%97%28li%28x%29-x%2Flog%28x%29-li%282%29%2B2%2Flog%282%29%29%2Cx%3D6%2A10%5E10000&lang=ja
↑この計算により約1.49407×10^9992個とわかりますので
約1.49407×10^9992番目の双子素数生成数は10^10000となります。

上記の式は概算ですが、例えばCEGIPOさんが計算されたn=351467967の場合は
https://www.wolframalpha.com/input/?i=1.32032363%C3%97%28li%28x%29-x%2Flog%28x%29-li%282%29%2B2%2Flog%282%29%29%2Cx%3D6%2A351467967&lang=ja
↑この計算から約670146個となり、少なくとも何桁かは一致しています。
しかもこの概算は値が大きくなるほど真値に近づく（真値との比が小さくなる）ことから、
x=6×10^10000のときの1.49407×10^9992という値は少なくともこの程度(5〜6桁)の桁数の
精度はあると思われます。

> 提示した近似式はあくまでも予想なので
> 数字が大きくなると「ずれていく」可能性はあるとは
> 思いますが。。

「大きくなると合っていく」ならば小さいときの誤差は問題になりませんが、
逆の「大きくなるとずれていく」ならば
「この位の大きさまでなら精度はこの程度」のような評価が必要です。
# そのような評価がないと近似式として使えないと思います。
No.76085 - 2021/06/25(Fri) 10:32:03
☆ Re: 双子素数に関する近似式（予想） / CEGIPO
＞らすかるさん。

そうですね。おっしゃるとおりです。
数字が大きくなると段々ずれていってしまうなら
近似式にはならないですよね。
精度がある程度保証されないと。
そうですね。

＞（ただしΠ2=0.66016181…, https://oeis.org/A005597）
＞すなわち
＞1.32032363×∫[2〜x]dx/(logx)^2

この部分ですが何かのページで
少しだけ違う式を見かけて
今検索したのですが失念しました。
（そのページのURL張りたかったのですが）
こう書いてあるところもありました。

＞1.32032363×∫[2〜x]dx/｛(logx)(log(x+2))}

双子素数の形からみて、より自然な式なのでしょうね。
No.76113 - 2021/06/26(Sat) 05:41:44
☆ Re: 双子素数に関する近似式（予想） / CEGIPO

先程の〜log(x)log(x+2)〜の式のページ見つけました。
↓この式は証明はされてないらしいですが
最有力候補とのことのようです。

https://www.shokabo.co.jp/column-math/column-math0007.html
No.76114 - 2021/06/26(Sat) 05:58:46
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