x^2+y^2=1のもとで f(x,y)=x^3+y^3の最大値と最小値を求める計算です。
答えは(プラスマイナス1/√2,プラスマイナス1/√2)のとき最大値は1/√2 (マイナスプラス1/√2,マイナスプラス1/√2)のとき最小値は-1/√2
これで合っていますか?
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No.76510 - 2021/07/08(Thu) 05:14:10
| ☆ Re: 条件付き最適化問題です。 / ヨッシー | | | 少なくとも (x,y)=(1,0) のとき f(x,y)=1 (x,y)=(−1,0) のとき f(x,y)=−1 なので、違うと思います。
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No.76512 - 2021/07/08(Thu) 06:18:23 |
| ☆ Re: 条件付き最適化問題です。 / 関数電卓 | | | fx=x(3x−2λ)=0 から x=0, 2λ/3 fy=y(3y−2λ)=0 から y=0, 2λ/3 x^2+y^2=1 とから (x,y)=(0,±1),(±1,0),(±1/√2,±1/√2) の6点が極値の候補で,ここから増減を調べて最大・最小を決定する。 …のだが,この作業は大変。 こんなことをするくらいなら,最初から
f(x,y)=x^3+y^3 …(1), x^2+y^2=1 …(2) x+y=u と置くと,(2)とから −√2≦u≦√2 …(3) u^2=x^2+2xy+y^2=1+2xy ∴ xy=(u^2−1)/2 f(x,y)=(x+y)(x^2−xy+y^2)=u(1−(u^2−1)/2)=−u^3/2+3/2・u=f(u) …(4) の(3)での最大・最小を微分で求める方が早い。
※ x=cosθ,y=sinθ と置く方法もある。
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No.76514 - 2021/07/08(Thu) 15:54:10 |
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