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★ 「１６次方程式の判別式について」その２ / ｊｔ７７８７７
らすかる様へ

「ダウンロードするにしても相当な時間がかかりますが、
自分のパソコンに88GBのデータをダウンロードしたいということですか？」について。

私は家にパソコンが無いのでハイスペックのパソコンで
ダウンロードしたいなあと思います。
（例えばネットカフェかな？）

『自分のパソコンに「88GBのデータをダウンロードしたいということですか？』とらすかる様がおっしゃって
いましたのでそれに対応出来るパソコンでダウンロード
すればいいのでは？？？それともそんなに１０時間以上も
ダウンロードの時間がかかってしまうのでしょうか？
それとも「１６次方程式の判別式だけで88GBのデータをダウンロードしなければいけない？という意味で
良いのですよねえ。

※それから私個人的には「５次〜１５次方程式の判別式」
も見てみたいのですがこれも調べてみたけどわかりません
でした。（調べ方が悪いのかな？><)

でもらすかる様の文章を見る限りダウンロードすれば入手
可能って事ですよねえ。
No.26312 - 2014/05/27(Tue) 11:19:28
☆ Re: 「１６次方程式の判別式について」その２ / らすかる
> それともそんなに１０時間以上も
> ダウンロードの時間がかかってしまうのでしょうか？

10時間では終わらないと思いますよ。
100Mbpsでダウンロードできれば2時間程度ですが、
もしそういうデータが公開されていたとしたら
公開している側のスペックの影響で、通常は20倍〜1000倍ぐらいかかります。
早くて丸2日、遅いと2ヶ月ぐらいでしょうね。
（これはダウンロードするPCをいくらハイスペックにしても速くなりません。）

> ダウンロードすれば入手可能って事ですよねえ。

公開されていれば入手可能ですが、
上記のように巨大なデータであり、ネットでダウンロードするような
サイズではありませんので、公開していないと思います。


その後私もちょっと検索してみましたが、
5次以上の判別式はネット上では見つかりませんでした。
やはり需要がないのでしょうねぇ・・・
No.26314 - 2014/05/27(Tue) 13:24:26
☆ Re: 「１６次方程式の判別式について」その２ / 黄桃
既に数学の問題ではなく、情報工学の問題だと思います。
みずきさんが計算方法まで教えてくれているのですから、ｊｔ７７８７７さんが計算すればいいだけです。
自分で手を動かしてないから、らすかるさんのいう意味が理解できないのでしょう。
私には、秀吉と曽呂利新左衛門の逸話の、仕掛けに気づく前の秀吉がまさにｊｔ７７８７７さんに見えます。

とりあえず、高速なマシンとたくさんのメモリを用意して、フリーの数式処理ソフト（文字の行列式が計算できるもの）をインストールしてください。
その上で、5次の判別式なら次の行列
[a,b,c,d,e,f,0,0,0],
[0,a,b,c,d,e,f,0,0],
[0,0,a,b,c,d,e,f,0],
[0,0,0,a,b,c,d,e,f],
[5*a,4*b,3*c,2*d,e,0,0,0,0],
[0,5*a,4*b,3*c,2*d,e,0,0,0],
[0,0,5*a,4*b,3*c,2*d,e,0,0],
[0,0,0,5*a,4*b,3*c,2*d,e,0],
[0,0,0,0,5*a,4*b,3*c,2*d,e]
の行列式(determinant)を計算すればこれが ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0 の判別式です。

＃行列とか行列式とかはご自分でお調べください。
＃数式処理ソフトを使うのなら内容が理解できなくても計算できます。
＃Mathematica でもできるはずですが、wolfram ではできませんでした。
＃proにして、5a でなく5*a などとすればできるのかもしれません。

6次は、1行目がgまで必要で、その先に0が4つです。ずらしながら5行並べて、
その次の行が 6*a,5*b,..., f, と並べ、その先に0が5つです。ずらしながら6行並べます。
7次でも8次でも同様で、理論的には計算できます。
なので、数学的にはこれで話はおしまいです。

＃ですが、ちょっと大きくなると数式処理ソフトでもアウトです。
＃以下で述べるmaximaでは7次でアウトでした(a=1,b=0にすればＯＫですが、それでも相当長いです)。
＃だから16次の場合に計算できた、というのが（情報工学的な）ニュースになります。

ちなみに、5次の場合、maxima をダウンロードして上の計算をやらせたら、一瞬で
3125*a^5*f^4
+(-2500*a^4*b*e+(2000*a^3*b^2-3750*a^4*c)*d+2250*a^3*b*c^2-1600*a^2*b^3*c+256*a*b^5)*f^3
+((2000*a^4*c-50*a^3*b^2)*e^2
+(2250*a^4*d^2+(160*a^2*b^3-2050*a^3*b*c)*d-900*a^3*c^3+1020*a^2*b^2*c^2-192*a*b^4*c)*e
-900*a^3*b*d^3
+(825*a^3*c^2+560*a^2*b^2*c-128*a*b^4)*d^2
+(144*a*b^3*c^2-630*a^2*b*c^3)*d
+108*a^2*c^5-27*a*b^2*c^4)*f^2
+((-1600*a^4*d+160*a^3*b*c-36*a^2*b^3)*e^3
+(1020*a^3*b*d^2+(560*a^3*c^2-746*a^2*b^2*c+144*a*b^4)*d+24*a^2*b*c^3-6*a*b^3*c^2)*e^2
+((24*a^2*b^2-630*a^3*c)*d^3+(356*a^2*b*c^2-80*a*b^3*c)*d^2+(18*a*b^2*c^3-72*a^2*c^4)*d)*e
+108*a^3*d^5+(16*a*b^3-72*a^2*b*c)*d^4+(16*a^2*c^3-4*a*b^2*c^2)*d^3)*f
+256*a^4*e^5
+(-192*a^3*b*d-128*a^3*c^2+144*a^2*b^2*c-27*a*b^4)*e^4
+((144*a^3*c-6*a^2*b^2)*d^2+(18*a*b^3*c-80*a^2*b*c^2)*d+16*a^2*c^4-4*a*b^2*c^3)*e^3
+(-27*a^3*d^4+(18*a^2*b*c-4*a*b^3)*d^3+(a*b^2*c^2-4*a^2*c^3)*d^2)*e^2
と答えました(fについて整理し、次にeについて整理し、... という形で整理してあるようでしたので、それがわかるように改行を入れました）。
No.26321 - 2014/05/28(Wed) 00:06:18
★ (No Subject) / ハレゾラ
一度、他の掲示板で質問したことがあるのですが、答えを得られなかったため再度質問したいです。
私が不等式証明するときに、方針として考えるのが、?@絶対不等式の利用、?A図形を利用して解く、?B関数として解く(変数固定など)なのですが、一つの問題で複数考えてみようと思い、次の問題で試しました。

問題
実数x,y,zはx+y+2z=1…?@,x^2+y^2+z^2=1…?Aをともに満たしている。
(1)zのとりうる値の範囲を求めよ。
(2)さらに,x≧z,y≧zであるとき,zのとりうる値の範囲を求めよ。

解答は、
(1)2-√10/6≦z≦2+√10/6
(2)2-√10/6≦z≦0

です。一応模範解答載せます。

解答
(1)x+y=1-2z,xy=(5z^2-4z)/2をみたし、x,yはt^2-(1-2z)t+(5z^2-4z)/2=0の実数解なので(判別式)≧0より
　(1-2z)^2-4{(5z^2-4)/2}≧0
⇔2-√10/6≦z≦2+√10/6

(2)f(t)=t^2-(1-2z)t+(5z^2-4z)/2とおき、f(t)=0がt≧zの範囲に実数解もつ条件をもとめて
　f(z)≧0かつ(1-2z)/2≧zかつ(判別式)≧0
⇔2-√10/6≦z≦0

わたしは、別解として自分は円と直線の共有点の存在条件を使うことで図形的に求めることができました。

そこで、質問なんですが、この問題を絶対不等式である相加平均と相乗平均の関係や、コーシー・シュワルツの不等式などを用いて解答することはできないでしょうか？もしできそうでないなら理由も教えていただけると助かります。

よろしくお願いいします。
No.26301 - 2014/05/27(Tue) 00:01:11
☆ Re: / angel
> などを用いて解答することはできないでしょうか？もしできそうでないなら理由も教えていただけると助かります。

できないでしょうね。
より正確に言うなら、それらの不等式だけでは話が完結しないため、それなら敢えて持ち出す理由がない、ということになりますが。

このような問題は、見た目不等式であって、単なる不等式ではないのです。なぜならば、「範囲」を示す問題だから。
ハレゾラさんの挙げられた不等式は、いずれも範囲を示すものではないのです。
もし問題が、最大値や最小値を求めるものだったならば。そういった不等式を活用するというのは、良くある話なのですが。
No.26313 - 2014/05/27(Tue) 12:37:37
☆ Re: / ハレゾラ
回答ありがとうございます。

> このような問題は、見た目不等式であって、単なる不等式ではないのです。なぜならば、「範囲」を示す問題だから。
> ハレゾラさんの挙げられた不等式は、いずれも範囲を示すものではないのです。

確かに値域を求める場合は、もし絶対不等式で不等式を作れたとしても、それは範囲を示す不等式かどうかわからないため、左右で等号が成り立つことを確かめないといけないためややこしいそうですね。

> もし問題が、最大値や最小値を求めるものだったならば。そういった不等式を活用するというのは、良くある話なのですが。

では、無理矢理になってしましますが、「最大値を求めよ」という問題だったなら、絶対不等式を利用して解いていけますか？
可能そうだったらでいいのでお願いします。
条件の式から不可能だと判断されたのであれば、理由も教えていただけると助かります。

よろしくお願いします。
No.26319 - 2014/05/27(Tue) 22:33:41
☆ Re: / angel
ちょっと補足します。

> 左右で等号が成り立つことを確かめないといけないため
「等号成立」については確かめれば良いだけなので、特に問題にはならないと思います。
「範囲」だと何が大変かというと、例えば 0≦z≦1 が答えだとして何を示すべきか、それは、z=0.1, 0.333, …等、0〜1の範囲にある値は全て、適切に条件を整えてあげれば、ちゃんとzの値として取りうるということを示さなければならないこと。
…だからと言って、無数の＝を一つ一つ示しても意味がないため、証明に使う不等式がこういった「範囲」を示すためになるかどうか、考えなければいけないのです。

で、相加平均・相乗平均の関係や、コーシー・シュワルツの不等式は、あくまで「ある2種類の値を比較した時の大小関係（と、等号成立条件）」が分かるだけなので、「範囲」を示すためには使えないのです。
No.26325 - 2014/05/28(Wed) 01:16:17
☆ Re: / ハレゾラ
回答ありがとうございます。

>相加平均・相乗平均の関係や、コーシー・シュワルツの不等式は、あくまで「ある2種類の値を比較した時の大小関係（と、等号成立条件）」が分かるだけなので、「範囲」を示すためには使えないのです。

なるほどー、そうだったんですか。
つまりz≦1とその等号条件がわかったとしてもいくつかのzの値すべてに対してz≦1は示せて最大値が1とはいえるが、任意の実数zに対してz≦1となるかどうかを絶対不等式でしめすのは困難だということですね。
結局、範囲を示す不等式として正しいかどうかは模範解答のような解答で確認する必要があり、それならあえて持ち出す理由がないとないということですね。

また、話は戻りますが、最大値として(1)2+√10/6(2)0あるいは最小値として(1)2-√10/6(2)2-√10/6を答えとして出すことはできそうでしょうか？
絶対不等式をどう変形したらこのような定数を不等式に生み出せるのかが知りたいです。

よろしくお願いします。
No.26337 - 2014/05/28(Wed) 05:47:42
☆ Re: / angel
遅くなりましたが、(1)が「最大値・最小値を求める問題」だったとして、コーシー・シュワルツの不等式を使って説明することは可能です。
※流石に条件がつく(2)では苦しいけど

ちょっと無理やりな感があるので、あまり参考にはならないかもしれませんが…

問：実数x,y,zが x+y+2z=1, x^2+y^2+z^2=1 を満たす時、zの最大値・最小値を求めよ
答：
　コーシー・シュワルツの不等式
　　(ax+by)^2≦(a^2+b^2)(x^2+y^2)
　のa=b=1のケースより、
　　(x+y)^2≦2(x^2+y^2)
　今、x+y=1-2z, x^2+y^2=1-z^2 であることから
　　(1-2z)^2≦2(1-z^2)
　このzに関する不等式を解いて (2-√10)/6≦z≦(2+√10)/6
　z=(2±√10)/6, x=y=(1±(-√10))/6　( 複号同順 ) は x+y+2z=1, x^2+y^2+z^2=1 を満たす
　※計算して確認してください
　　なお、±(-√10)は普通 マイナスプラス√10 だけど、記号が出せないのでこういう表記に

　よってzの最大値は(2+√10)/6, 最小値は(2-√10)/6

ところで、なぜ x=y=(1±(-√10))/6 が出てきたかというと、コーシー・シュワルツの不等式の等号成立条件 bx=ay を、件のzの値に対して適用するとそうなるから、です。
No.26441 - 2014/06/01(Sun) 05:03:33
★ 常用対数 / ふぇるまー
問:2.25^n乗せぁ整数部分が3桁であるような整数nの値を求めよ。
教えてください。小数は分数にしますよね❓
No.26299 - 2014/05/26(Mon) 22:30:59
☆ Re: 常用対数 / ふぇるまー
すいません、なんか変な文になってました。2.25^nの整数部分が~(ここから後ろは訂正なしです)
No.26300 - 2014/05/26(Mon) 22:32:57
☆ Re: 常用対数 / みずき
2.25^n
=(2+1/4)^n
=(2+2^(-2))^n
=Σ[k=0,n]nCk*2^(n-k)*2^(-2k)
=Σ[k=0,n]nCk*2^(n-3k)

nCk*2^(n-3k)≧1
⇔nCk≧2^(3k-n)
を満たす範囲が0≦k≦Kだとすると
Σ[k=0,K]nCk*2^(n-3k)≦[2.25^n]≦{Σ[k=0,K]nCk*2^(n-3k)}+(n-K)
が成り立つ。ただし、[x]はガウス記号。

n=5のとき、K=2だから、
Σ[k=0,2]5Ck*2^(5-3k)≦[2.25^5]≦Σ[k=0,2]5Ck*2^(5-3k)+(5-2)
⇔57≦[2.25^5]≦60

一方、n=9のとき、K=5だから、
Σ[k=0,5]9Ck*2^(9-3k)≦[2.25^9]≦Σ[k=0,5]nCk*2^(9-3k)+(9-5)
⇔1475.75≦[2.25^9]≦1479.75

以上により、求めるnは、n=6,7,8ですべてです。
No.26302 - 2014/05/27(Tue) 00:36:29
☆ Re: 常用対数 / らすかる
タイトルが常用対数なので
多分常用対数表を使うか、またはlog[10]2≒0.301,log[10]3≒0.477を使って
求めるのでしょうね。
(以下すべて常用対数)
log(2.25^n)=nlog2.25=nlog(9/4)=nlog((3/2)^2)=2nlog(3/2)
=2n(log3-log2)≒2(0.477-0.301)n=0.352n なので
3桁すなわち10^2以上10^3未満になるためには2≦0.352n＜3
これを解いて 6≦n≦8
No.26303 - 2014/05/27(Tue) 02:06:58
☆ Re: 常用対数 / ふぇるまー
みずき先生、らすかる先生有り難うございました。
No.26317 - 2014/05/27(Tue) 21:24:53
★ 高校一年生二次関数です。 / かい
(2)の値域は5≦x<29ではないんですか？

あと、(3)の解法を教えてください。
No.26295 - 2014/05/26(Mon) 21:17:36
☆ Re: 高校一年生二次関数です。 / かい
先ほどの画像が間違ってました！
すいません！
No.26296 - 2014/05/26(Mon) 21:19:02
☆ Re: 高校一年生二次関数です。 / みずき
> (2)の値域は5≦x<29ではないんですか？

違います。頂点のx座標が3なので、0≦x＜4に含まれます。
よって、最小値はx=3のときの2です。
それに、最大値29はx=0のときなので、0≦x＜4に含まれます。
よって、2≦x≦29です。（←右の不等式も等号を含む）

(3)
f(x)=3x^2-18x+29とおくことにします。
頂点が(3,2)なので、f(2)=f(4)であることに注意します。
0＜a≦2のとき、最大値f(a),最小値f(3)
2＜a≦3のとき、最大値は存在せず、最小値f(3)
3＜a＜4のとき、最大値は存在せず、最小値f(a)
No.26297 - 2014/05/26(Mon) 21:32:15
★ (No Subject) / tt
次の議論はどこが間違っているのですか？
No.26293 - 2014/05/26(Mon) 20:21:32
☆ Re: / みずき
t＞0におけるt^2+1/tの最小値を求めたい、と解釈します。
そして、
「t^2+1/t≧2√t
が得られて、しかも等号が成立するtが存在するから
t^2+1/tの最小値は2√tである。」
という議論であるとして回答します。

最小値が2√tというのは、答えとしておかしいですよね。
最小値というからには、(tによらない)定数でなくていけません。
ですから、最小値を求めたことにはなりません。

# 最小値を求めたければ、
「t^2+1/t≧(ある定数)」という形を得て、さらに
等号が成立するtが存在することを確認しなくてはいけません。
つまり、右辺にtが残ってしまっていることが問題だ、ということです。
# ちなみに
「等号がt=1のときに成立するから、2√1=2が最小値」
という議論も全く正しくありません。念のため。
No.26294 - 2014/05/26(Mon) 20:32:23
★ 「１６次方程式の判別式」について / ｊｔ７７８７７
「京都大学(京大)情報学研究科の木村欣司特定准教授は、数式処理による16次方程式の判別式計算に成功したことを発表した。」自分もこれを知った時には衝撃的でした。

早速本題に入りますが「１６次方程式の判別式」をパソコンで見ることは出来ないのでしょうか？本当の事を言えば
５次〜１６次方程式の判別式って1回も見た事ないんですよ。
それでヤフーで調べたんですが見る事は出来ませんでした。（検索方法が間違っているのかな？？><)

そこで皆さんにお聞きしたいのですが「京都大学(京大)情報学研究科の木村欣司特定准教授が数式処理による16次方程式の判別式計算に成功した」これはパソコンで「？？？」と
検索すれば見る事は可能なのでしょうか？ぜひやりかたを
教えてもらえませんでしょうか？よろしくお願いします。
No.26288 - 2014/05/26(Mon) 15:29:14
☆ Re: 「１６次方程式の判別式」について / らすかる
88GBもある式をどうやって「見る」のですか？
1秒間に10文字ずつ「見て」も、280年もかかりますよ。
ダウンロードするにしても相当な時間がかかりますが、
自分のパソコンに88GBのデータをダウンロードしたいということですか？
No.26289 - 2014/05/26(Mon) 15:36:31
★ 数列 / ヒキニート
数列1,2,3,・・・,n(n≧2)において異なる2項の積の和を求めよ。
No.26282 - 2014/05/26(Mon) 13:01:36
☆ Re: 数列 / ヨッシー
求める積の和をＳとすると、
　(1+2+3+…+n)(1+2+3+…+n)＝(1^2+2^2+…+n^2)＋２Ｓ
から、Ｓを求めます。
No.26283 - 2014/05/26(Mon) 13:20:22
★ 数列 / ヒキニート
数列の問題です。

(A)(1)整数からなる公差1の等差数列a,b,c,dで、a^3+b^3+c^3=d^3を満たすものを求めよ。
(2)0でない整数からなる等比数列a,b,c,dでa^3+b^3+c^3=d^3を満たすものは存在しないことを示せ。

(B)異なる3数a,b,cがあり、a,b,cはこの順で等差数列をなし、適当な順に並べると等比数列になる。3数の積をkとするとき、a,b,cをkを用いて表せ。
No.26281 - 2014/05/26(Mon) 12:59:15
☆ Re: 数列 / ヨッシー
(A)(1)
a,b,c,d を a,a+1,a+2,a+3 として、
　a^3+b^3+c^3=d^3
に代入すると
　a^3+(a^3+3a^2+3a+1)+(a^3+6a^2+12a+8)=a^3+9a^2+27a+27
これを整理して、
　a^3-6a-9=0
これを解きます。
(2)
a,b,c,d を a,ar,ar^2,ar^3 とし、
　a^3(1+r^3+r^6)＝a^3r^9
a≠0 より
　1+r^3+r^6＝r^9
移項して、r^9-r^6-r^3＝1
r=1, r=-1 ではこの式は成り立たないことは明らか。
|r|≧2 のとき、r^9-r^6-r^3 は |r| の倍数であるが、
右辺はそうでないので、　1+r^3+r^6＝r^9 を満たす整数ｒは
存在せず、（以下略）

(B)
公差d（≠0）の等差数列 a,a+d,a+2d がこの順で等比数列でもあるとすると、
　(a+d)^2＝a(a+2d)
　2ad＋d^2＝2ad
　d=0
となり、d≠0 に矛盾します。
よって、等比数列の場合、a または a+2d が中央の項になりますが、
a を中央の項としても一般性を失いません。
このとき、
　a^2＝(a+d)(a+2d)
　3ad+2d^2=0
d≠0 より、
　3a＋2d=0
また、３項の積は a^3 (中央項の３乗) であるので
　a=k^(1/3)
　d=(-3/2)a＝(-3/2)k^(1/3)
より、
　b=a+d＝(-1/2)k^(1/3)
　c=b+d＝-2k^(1/3)
No.26286 - 2014/05/26(Mon) 13:53:18
★ 整数 / ヒキニート
整数の問題です。

(1)x+2y+4zを満たす整数x,y,zのくみは全部で何組あるか。
(2)kを負でない整数とする。x+2y=4kを満たすx,yの組の個数をkを用いて表せ。
(3)nを負でない整数とする。x+2y+4z=4nを満たすx,y,zの組の個数をnを用いて表せ。
No.26280 - 2014/05/26(Mon) 12:52:01
☆ Re: 整数 / ヨッシー
(1) 右辺がありません。
(2)(3) x,y,(z) の条件は？非負整数ですか？
No.26284 - 2014/05/26(Mon) 13:25:29
☆ Re: 整数 / ヒキニート
すいません。(1)はx+2y+4z=8です。

それとx,y,zは負でない整数です。
No.26285 - 2014/05/26(Mon) 13:27:42
☆ Re: 整数 / ヨッシー
(1)
z に入る数は0,1,2 です。
z=0 のとき、x+2y＝8
　このとき、y に入る数は、0〜4 の5通りの整数で、それらに対して
　x が必ず1つ決まる。
z=1 のとき、x+2y＝4
　このとき、y に入る数は、0〜2 の3通りの整数で、それらに対して
　x が必ず1つ決まる。
z=2 のとき、x+2y=0　これを満たすのは x=0,y=0 の１通り
以上より、５＋３＋１＝９(通り)

(2) (1) を応用して、
y に入る数は0〜2k の2k+1通りの整数で、それらに対して x が必ず1つ決まる。
よって、2k+1 組

(3)
ｚに入る数は0〜n のn+1通り。
z=0 のとき、x+2y=4n で、x,y の組は 2n+1 通り。
z=1 のとき、x+2y=4n-4 で、x,y の組は 2n-1 通り。
z=2 のとき、x+2y=4n-8 で、x,y の組は 2n-3 通り。
　・・・
z=n のとき、x+2y=0 で、x,y の組は 1通り。
以上より、求める組の数は
　１＋３＋５＋・・・＋(2n+1)＝(n+1)^2
No.26287 - 2014/05/26(Mon) 15:24:29
★ (No Subject) / tt
つぎのような問題の一般化を考えます。
即ち、Aがm勝、Bがn勝して、なおかつBの勝ち数がAの勝ち数を上回ることがない。
このときどうなるでしょうか。
mとnが互いに素という条件がないととけないですかね？
No.26261 - 2014/05/25(Sun) 20:41:39
★ (No Subject) / tt
つぎのような問題の一般化を考えます。
即ち、Aがm勝、Bがn勝して、なおかつBの勝ち数がAの勝ち数を上回ることがない。
このときどうなるでしょうか。
No.26260 - 2014/05/25(Sun) 20:40:32
☆ Re: / tt
何度もすいません、やはり一般化は無理なので(色々したのですが、多分無理です)次のようにします。
これなら頑張ればとけそうな気はいまのところしています。
No.26262 - 2014/05/25(Sun) 20:58:52
☆ Re: / みずき
ご希望には沿わないかもしれませんが、
2n試合でA,Bともn勝の場合なら(m=n)、
答えは、C(2n,n)/(n+1)通りです。
(一般に、これをカタラン数と言います)

# C(n,m)=n!/{(n-m)!m!}を表しています。
No.26263 - 2014/05/25(Sun) 21:01:29
☆ Re: / らすかる
全く同じ方法で一般化できますね。
「Aがm勝、Bがn勝して、なおかつBの勝ち数がAの勝ち数を上回ることがない。」
場合の数は、(m+n)Cn - (m+n)C(n-1) になると思います。
No.26264 - 2014/05/25(Sun) 21:17:09
★ (No Subject) / かっつー
e1,e2をR^2の標準基底とする
W=<e1+e2>はR^2の部分空間とする
(1)<e1+W>=R^2/W
(2)<e1+W>=<e2+W>

この二つを示してください
すいませんがなるべく至急お願いします
No.26251 - 2014/05/25(Sun) 17:07:21
★ 指数、対数 / ふぇるまー
貼付写真の１４，１６を中心に教えて頂きたいです。
１５は常用対数表をもいいなければならないので、お時間がもしあったらどなたか解説願います。１４は常用対数log【10】をとるのは解かるのですが...
１５は難しいです。お願いします。
No.26247 - 2014/05/25(Sun) 12:15:52
☆ Re: 指数、対数 / みずき
以下、対数の底は10であるとします。

14
log4=log2^2=2log2=2*0.3010=0.602
log(3^√2)=√2log3=√2*0.4771

log(3^√2)=√2*0.4771＞1.4*0.4771=0.66794＞0.602=log4
∴log(3^√2)＞log4
∴3^√2＞4（∵底10＞1）

15
logM=log{9^(1/3)}=log{3^(2/3)}=(2/3)log3
常用対数表により、log3≒0.4771と分かるので、
logM=(2/3)*0.4771≒0.31807≒0.3181
さらに、log(2.08)≒0.3181だから、M≒2.08

16
2^n＜3^(20)＜2^(n+1)
⇔nlog2＜20log3＜(n+1)log2
⇔20log3/log2-1＜n＜20log3/log2
∴30.7＜n＜31.71
∴n=31
No.26250 - 2014/05/25(Sun) 17:04:34
☆ Re: 指数、対数 / ふぇるまー
ありがとうございます！
No.26259 - 2014/05/25(Sun) 20:36:36
★ 高校化学 / 酒石酸
高校化学で
22.3/122.3=(16x/25)/(100+x)
のｘの値を有効数字二桁で求める問題がありました。
どうにか計算量を減らしたいです。

積・商の計算のルール「途中計算の場合は、答えるべき有効数字の桁数より一桁多く取り、それ以降を切り捨てます。そして最後に答えを出すときに末位を四捨五入して桁数をそろえます」とあるのですが和や差がからむとどうなるのかいまいち分かりません。

変形して22.3(100+x)=(16/25)x*122(122.3→122）
22.3*25(100+x)=16x*22
557(100+x)=1.95*10^3x(22.3*25=557.5→557)(122*16=1952→1.95*10^3)
557*100=(1.95-0.557)*10^3x
=1.39*10^3x(1.95-0.557=1.393→1.39）
ｘ＝557/(1.39*10)=40.0≒40
答えは偶然にも合ってるのですが、途中はこれで合っているのでしょうか？よろしくおねがいします
No.26188 - 2014/05/24(Sat) 08:12:43
★ 三角関数の問題です。 / 628
1＋tanθ/1-tanθ＝2のとき、cosθ＝-3sinθ
を証明せよ。
No.26186 - 2014/05/24(Sat) 07:39:19
☆ Re: 三角関数の問題です。 / 628
( 1＋tanθ)/(1-tanθ)＝2でした。
No.26187 - 2014/05/24(Sat) 07:42:17
☆ Re: 三角関数の問題です。 / らすかる
(1+tanθ)/(1-tanθ)=2 のとき
cosθ=-3sinθ にはなりませんので
証明するのは不可能です。
No.26189 - 2014/05/24(Sat) 10:13:25
★ 連投してすいません / k
ある正方形の1辺は5センチである。頂点Aから底辺に垂線を引き、その長さをYとする。Aを軸にして、辺BCに並行なるように3時方向に90度振って、辺ADをコンパスでつくる。図形ABCDの面積を平方センチで出せ
No.26149 - 2014/05/23(Fri) 21:13:07
☆ Re: 連投してすいません / みずき
「頂点A」はどこにあるのですか？
「頂点Aから底辺に垂線を引き」の底辺とは何を指しているのですか？
その他にも、不明瞭な点があります。
No.26151 - 2014/05/23(Fri) 21:15:02
☆ Re: 連投してすいません / k
すいません
正三角形です
No.26152 - 2014/05/23(Fri) 21:21:02
☆ Re: 連投してすいません / みずき
> 正三角形です

「ある正三角形ABCの1辺は5センチである。
頂点Aから底辺BCに垂線を引き、その長さをYとする。
Aを軸にして、辺BCに並行なるように3時方向に90度振って、
辺ADをコンパスでつくる。
図形ABCDの面積を平方センチで出せ」

という問題だとしても、

「Aを軸にして、辺BCに並行なるように3時方向に90度振って、
辺ADをコンパスでつくる」

の部分に曖昧さは残ります。

そこで、
「xy平面上に、正三角形ABCが
(Bのy座標)=(Cのy座標)＜(Aのy座標)
(Bのx座標)＜(Cのx座標)
となるように置かれている」
「ADとBCは平行」
「BCの中点をEとするとき、EをAを中心に90度(反時計回りに)回転させるとD」
という解釈のもとで回答します。
（この解釈で合っているかどうか判断してください。）

条件により、Y=AE=5√3/2(cm)
上の解釈によれば、四角形ABCDは台形となります。
上底AD=AE=5√3/2,下底BC=5,高さAE=5√3/2だから、
面積は、(5√3/2+5)*(5√3/2)÷2=25√3/4+75/8(cm^2)
No.26153 - 2014/05/23(Fri) 21:28:26
★ (No Subject) / k
ある大学のキャンパスのすべての教室の椅子の数の合計が2万2000個であった。毎年、古くなった椅子の10%を新しくしていくとする。その時、10年後にまだ古い椅子は何個残っているか。
また図で調べるとどうなるか。
No.26146 - 2014/05/23(Fri) 20:58:11
☆ Re: / IT
「古くなった椅子」「古い椅子」の定義がないので解答不能だと思います。
No.26147 - 2014/05/23(Fri) 21:07:07
☆ Re: / らすかる
2万2000個のうち「古くなった椅子」が何個あるかわかりませんので
求まりません。
また何年経つと「古くなった椅子」と判断するかも不明です。
例えば2万2000個がもともと全部「古い椅子」だとして
初年度に2200個新しくしたとしても、
8年も経てば初年度に交換した2200個の椅子は「古い椅子」に
該当しそうな気がします。
No.26148 - 2014/05/23(Fri) 21:09:28
☆ Re: / k
ありがとございます
No.26150 - 2014/05/23(Fri) 21:14:30
★ よろしくお願いしますを / k
今日は木曜日です。今日から600日後(その間にうるう年があった)は何曜日ですか？
No.26144 - 2014/05/23(Fri) 20:54:07
☆ Re: よろしくお願いしますを / らすかる
600を7で割ると5余りますので火曜日です。
No.26145 - 2014/05/23(Fri) 20:56:51
★ 「三次方程式と四次方程式の判別式」についてその３ / jt77877
らすかる様へ⇒⇒ご質問への解答ありがとうございました。

少し説明不足で申し訳ありません＞＜

その２で「数学で勉強する行列」という技法」に出てくる
「行列」と言うのは線型代数学を習うときに使うものです。（連立方程式の解法でクラーメルの公式とか逆行列他が
登場しますが、あれは私が指す所の「行列」になります。


本題に入ります
「三次方程式や四次方程式の判別式がどんなものか知っていますし、多分自分で算出することも出来ますので」
らすかる様は『「三次方程式と四次方程式の判別式に
ついてその２』への私の質問への解答に「三次方程式や四次方程式の判別式がどんなものか知っていますし、
多分自分で算出することも出来ますので」と書いて
ありましたのである程度の知識は頭の中に入っている、
と解釈しました。

もし？らすかる様がいいのであればここの掲示板で
教えてもらいたいのですがいかがでしょうか？

もし？それが面倒くさいと言うのであればお勧めのサイトを
教えてくれませんでしょうか？
どうかよろしくお願い申し上げます。
No.26142 - 2014/05/23(Fri) 10:55:34
☆ Re: 「三次方程式と四次方程式の判別式」についてその３ / らすかる
n次方程式 a[n]x^n+a[n-1]x^(n-1)+…+a[1]x+a[0]=0 の判別式は、
この方程式の解をα[k](k=1〜n]とおくとき、
D=a[n]^{2(n-1)}・Π[i≠j](α[i]-α[j])^2
と表されます。
一般には、この式から解と係数の関係を使ってα[k]を消去し、
a[0]〜a[n]で表した式が使われます。

「判別式」で検索すれば詳しいサイトはいくらでも出てきますので、
検索してみて下さい。
（Googleとかご存知ですよね？）

「多分自分で算出することも出来ます」というのは、
「四次方程式ぐらいになると手計算では非常に面倒でやってられないぐらいに
　なりますが、根気よく計算すれば何とか手計算でも出せるかと思います」
という意味です。
判別式は、次数があがると項数が爆発的に増えます。
「17次方程式の判別式」を検索すると出てきますが、
17次方程式の判別式の項数は21976689397項です。
ですから、四次方程式の判別式の手計算も大変だろうと想像がつくわけです。
No.26143 - 2014/05/23(Fri) 11:41:22
★ 凸不等式の証明 / ハレゾラ
凸不等式の証明問題です。

問題
　f(x)はx>0で定義された関数で、f"(x)<0を満たすものとする。
x[1]>0,x[2]>0,p>0,q>0,p+q=1のとき,不等式
　　　f(px[1]+qx[2])≧pf(x[1])+qf(x[2])
が成り立つことを示せ。

という凸不等式の証明問題なんですが、模範解答やいろいろ証明を探した時も、x[1]とx[2]の２変数関数として不等式証明しているのですが、pの関数として証明することはできないのでしょうか？
以下簡略のためx[1]=a,x[2]=bとします

私は途中までですが、

f(pa+qb)-pf(a)+qf(b)にq=1-pを代入した式を
F(p)=f{(a-b)p+b}-{f(a)-f(b)}p-f(b)とおいてa,bを固定し
両辺をpで微分して
　F'(p)=f'{(a-b)p+b}(a-b)-{f(a)-f(b)}
もう一度pで微分して
　F"(p)=f"{(a-b)p+b}(a-b)^2<0
　(∵f"(x)<0かつ(a-b)^2≧0)
したがってf'(p)は単調に減少し、0<p<1より
　F'(p)>F'(1)=f'(a)(a-b)-{f(a)-f(b)}

ここまでしてどのようにf'(a)(a-b)-{f(a)-f(b)}を変形すればうまくいくかわかりませんでした。

もし可能であれば自分の方針で解き方を教えてください。
また不可能であれば理由も教えてください。

よろしくお願いします。
No.26120 - 2014/05/23(Fri) 00:30:20
☆ Re: 凸不等式の証明 / みずき
> f(pa+qb)-pf(a)+qf(b)にq=1-pを代入した式を

これはf(pa+qb)-pf(a)-qf(b)の書き間違いですね。

> F(p)=f{(a-b)p+b}-{f(a)-f(b)}p-f(b)とおいてa,bを固定し
> 両辺をpで微分して
> 　F'(p)=f'{(a-b)p+b}(a-b)-{f(a)-f(b)}
> もう一度pで微分して
> 　F"(p)=f"{(a-b)p+b}(a-b)^2<0

a=bの場合もあるので、
F"(p)=f"{(a-b)p+b}(a-b)^2≦0
ですね。

> 　(∵f"(x)<0かつ(a-b)^2≧0)
> したがってf'(p)は単調に減少し

ここまでは良いと思います。
a=bのときは、
F'(p)＞F'(1)=0とF(0)=0とより、F(p)＞0が言えます。

以下では、a≠bとします。
F'(1)=f'(a)(a-b)-{f(a)-f(b)}=M
⇔f'(a)=M/(a-b)+{f(a)-f(b)}/(a-b)
とおいて、M＜0を示します。

まず、平均値の定理により、
{f(a)-f(b)}/(a-b)=f'(c)
を満たすc（aとbの間にある）が存在するから、
f'(a)=M/(a-b)+f'(c)
⇔f'(a)-f'(c)=M/(a-b)・・・Ａ

ここで、a＞bのときは、b＜c＜aで、
f(x)が上に凸だから、f'(c)＞f'(a)
よって、Ａにより、M＜0

a＜bのときは、a＜c＜bで、
f(x)が上に凸だから、f'(a)＞f'(c)
よって、Ａにより、M＜0

従って、いずれにしても、M=F'(1)＜0が示されました。

F'(p)は単調減少で、F'(1)＜0なので、
F'(α)=0かつ0＜α＜1
を満たすp=αがただ一つ存在します。

ゆえに、F(p)の増減を調べると、
0＜p＜αにおいて、F'(p)＞0で、F(p)は単調増加、
α＜p＜1において、F'(p)＜0で、F(p)は単調減少。

これとF(0)=F(1)=0とより、任意のa,b＞0に対して、
0＜p＜1において、F(p)＞0が言えます。
No.26131 - 2014/05/23(Fri) 03:15:01
☆ Re: 凸不等式の証明 / みずき
今気づきました。細かいことですが、ハレゾラさんが書かれた
> したがってf'(p)は単調に減少し

は、F'(p)の書き間違いですね。
No.26132 - 2014/05/23(Fri) 03:36:31
☆ Re: 凸不等式の証明 / ハレゾラ
間違いのご指摘ありがとうございます。
f(x)とf'(x)をどうつなげるか考えてはいたのですが平均値の定理があったのですね。

> a=bのときは、
> F'(p)＞F'(1)=0とF(0)=0とより、F(p)＞0が言えます。

a=bのときは任意のpに対してF(p)=0が成り立つのではないでしょうか？

> 以下では、a≠bとします。
> F'(1)=f'(a)(a-b)-{f(a)-f(b)}=M
> ⇔f'(a)=M/(a-b)+{f(a)-f(b)}/(a-b)
> とおいて、M＜0を示します。

ここで、F'(1)＜0を示したとして、F'(0)＞0を示さなくても
F'(α)=0かつ0＜α＜1を満たすp=αがただ一つ存在するといえますか？

また、F'(1)＞0としてF'(x)＞0からF(x)が単調増加する。という方針ではなく、F'(1)＜0を示そうとしたのはなぜですか？
F(0)=F(1)=0であるからF(x)は単調増加あるいは減少しないのでは？と考えられたからでしょうか？

> ゆえに、F(p)の増減を調べると、
> 0＜p＜αにおいて、F'(p)＞0で、F(p)は単調増加、
> α＜p＜1において、F'(p)＜0で、F(p)は単調減少。
>
> これとF(0)=F(1)=0とより、任意のa,b＞0に対して、
> 0＜p＜1において、F(p)＞0が言えます。

示すべき不等式に等号が入ってますがF(P)=0となることは言えなくてもいいのですか？

最後に
解答途中でf"(x)＜0の時,f(x)は上に凸であるということを利用されてますが、いいのですか？

わたしが最初にこの問題を解いたとき
上に凸のグラフを書いて、A(a,f(a)),B(b,f(b))として線分ABをq：pに内分する点Xのy座標が,f(x)に点Xのx座標を代入した値より小さい
として証明したのですが、私が教わった先生は「この問題は"f(x)＜0ならばf(x)は凸関数である"ことを示す問題だからその解答はダメだ」とおっしゃっていたのですが・・・

たくさん質問してしまってすいません。よろしくお願いします。
No.26159 - 2014/05/23(Fri) 22:58:18
☆ Re: 凸不等式の証明 / みずき
> a=bのときは任意のpに対してF(p)=0が成り立つのではないでしょうか？

あ、そうですね。間違えました。

> ここで、F'(1)＜0を示したとして、F'(0)＞0を示さなくても
> F'(α)=0かつ0＜α＜1を満たすp=αがただ一つ存在するといえますか？

あ、そうですね。忘れてました。
F'(0)＞0が必要でしたね。
F'(1)＜0と同様に示せると思います。

> また、F'(1)＞0としてF'(x)＞0からF(x)が単調増加する。という方針ではなく、F'(1)＜0を示そうとしたのはなぜですか？
> F(0)=F(1)=0であるからF(x)は単調増加あるいは減少しないのでは？と考えられたからでしょうか？

もちろんF(0)=F(1)=0を考えてのことです。

> 示すべき不等式に等号が入ってますがF(P)=0となることは言えなくてもいいのですか？

F(p)＞0⇒F(p)≧0は、真ですね。だから、問題ありません。

> 解答途中でf"(x)＜0の時,f(x)は上に凸であるということを利用されてますが、いいのですか？
> わたしが最初にこの問題を解いたとき
> 上に凸のグラフを書いて、A(a,f(a)),B(b,f(b))として線分ABをq：pに内分する点Xのy座標が,f(x)に点Xのx座標を代入した値より小さい
> として証明したのですが、私が教わった先生は「この問題は"f(x)＜0ならばf(x)は凸関数である"ことを示す問題だからその解答はダメだ」とおっしゃっていたのですが・・・

確かに本問の不等式を示す場合は、私の解法は不自然
というのが正直なところですね。
ただ、私の解答を正当化することはできます。

まず、
｢ある区間で定義された連続関数f(x)が。その区間内でx1＜x2＜x3
を満たす任意のx1,x2,x3に対して
{f(x2)-f(x1)}/(x2-x1)＞{f(x3)-f(x2)}/(x3-x2)
を満たすとき、f(x)は上に凸である｣

と言うとき、

｢開区間(a,b)において2回微分可能な関数f(x)が、この区間において、
f''(x)＜0ならば、f(x)は上に凸｣

というのは、次のように示せます。

（証明）
f(x)は、閉区間[x1,x2]において連続、開区間(x1,x2)において
微分可能なので平均値の定理の要件を満たす。
平均値の定理により、
{f(x2)-f(x1)}/(x2-x1)=f'(c1),x1＜c1＜x2を満たすc1が存在する。

一方、f(x)は、閉区間[x2,x3]において連続、開区間(x2,x3)において
微分可能なので平均値の定理の要件を満たす。
平均値の定理により、
{f(x3)-f(x2)}/(x3-x2)=f'(c1),x2＜c1＜x3を満たすc1が存在する。

f''(x)＜0ならば、f'(x)は減少関数なので、c1＜c2より、
f'(c1)＞f'(c2)です。
∴{f(x2)-f(x1)}/(x2-x1)＞{f(x3)-f(x2)}/(x3-x2)
よって、f(x)は上に凸です。
（証明修了）

私自身は、これを前提として解きました。
これを私の解答の冒頭に添えれば、一応問題はないです。

さて、本問の不等式を示すのには、
普通、ハレゾラさんがすでに述べたように、x1（x2）を
変数としてとらえるのが自然ですから、
pを変数として見る、というのは難しいな、と思っていました。

そこで、（あえて前面に出しませんでしたが）
f(x)が上に凸であることは、別経由で正当化できるから、
利用してしまおう、と思ったわけです。
（ハレゾラさんの質問の意図が別証明を求めている、
ということらしく、
可能か否かということに質問の重点がおかれていると思われたので）

ですから、ハレゾラさんの先生がおっしゃることは
至極当然で、私の解答は、正当化できるとしても、
不自然なものだ、とは思います。
（証明が正当化できるなら、何をしても良い、という
立場なら、私の証明は、立派な証明ですけどね。
そういう意味で、pを変数としてみる証明は、
私にはf(x)が上に凸、という事実を使わないといけないように思われ、
可能とはいえ、不自然にならざるを得ません。
もちろん、私には思いつかなかった、ということです。）
（できるの？できないの？どっちなの？と言われれば、
苦肉の策であれ可能なら（裏事情うんぬんは脇において）
可能と答えますよね？そういうことです。）
No.26162 - 2014/05/24(Sat) 01:04:44
☆ Re: 凸不等式の証明 / ハレゾラ
回答ありがとうございます。

> F'(0)＞0が必要でしたね。
> F'(1)＜0と同様に示せると思います。

実際に示そうとすると
F'(0)=f'(b)(a-b)-{f'(a)-f'(b)}となり、F'(1)=M＜0を示した時のF'(1)の式のf'(a)をf'(b)に入れ替えるだけなので同じようにF'(0)＜0になりそうなのですが、どうでしょうか？

また、考えてみたのですが、Ｍ＜0を示すのに上に凸だからとせずに、f"(x)＜0だからf'(x)は単調に減少すると変えたら議論がうまくいくのではないでしょうか？

前提にされた証明は、f"(x)＜0のとき、曲線の弦の傾きが常にｘ座標が小さいものの方が大きく、曲線は上に凸だ、と証明しているのですね。

すいません、わざわざ考えていただいて。はじめは可能かどうか教えていただいてから細かく聞くつもりでした。
No.26227 - 2014/05/25(Sun) 00:58:17
☆ Re: 凸不等式の証明 / みずき
> > F'(0)＞0が必要でしたね。
> > F'(1)＜0と同様に示せると思います。
>
> 実際に示そうとすると
> F'(0)=f'(b)(a-b)-{f'(a)-f'(b)}となり、F'(1)=M＜0を示した時のF'(1)の式のf'(a)をf'(b)に入れ替えるだけなので同じようにF'(0)＜0になりそうなのですが、どうでしょうか？

F'(0)=f'(b)(a-b)-f(a)+f(b)の間違いですよね。
それに、入れ替えただけではありません。

F'(0)=Nとおくと
a≠bのとき、f'(b)={f(a)-f(b)}/(a-b)+N/(a-b)
平均値の定理により、
{f(a)-f(b)}/(a-b)=f'(c)なるcがaとbの間に存在する。

a＜c＜bのときは、f'(b)-f'(c)=N/(a-b)＜0だからN＞0
b＜c＜aのときは、f'(b)-f'(c)=N/(a-b)＞0だからN＞0
なので、aとbの大小に関わらずN=F'(0)＞0が言えますね。

> また、考えてみたのですが、Ｍ＜0を示すのに上に凸だからとせずに、f"(x)＜0だからf'(x)は単調に減少すると変えたら議論がうまくいくのではないでしょうか？

あ、おっしゃる通りですね！
そうなると上に凸、ということを使わずに示せますね。
お見事でした。これで別証明が得られましたね。
（f'(x)の狭義単調減少性と平均値の定理の利用ということですね）
共同作業でしたね^^私は変に思い込んでいました。

> 前提にされた証明は、f"(x)＜0のとき、曲線の弦の傾きが常にｘ座標が小さいものの方が大きく、曲線は上に凸だ、と証明しているのですね。

そうですね。
No.26229 - 2014/05/25(Sun) 01:39:15
☆ Re: 凸不等式の証明 / ハレゾラ
> F'(0)=f'(b)(a-b)-f(a)+f(b)の間違いですよね。

すいません、書き間違い多いですね。

> a＜c＜bのときは、f'(b)-f'(c)=N/(a-b)＜0だからN＞0
> b＜c＜aのときは、f'(b)-f'(c)=N/(a-b)＞0だからN＞0
> なので、aとbの大小に関わらずN=F'(0)＞0が言えますね。

計算し直してみたらおっしゃるとおりでした。式としては、f'(a)-f'(c)=M/(a-b)のf'(a)→f'(b)、M=F'(1)→N=F'(0)に置き換えただけですが、そのあとの不等式のa＜c＜bのときf'(c)＜f'(a)をf'(a)→f'(b)としたらまずかったですね。


> （f'(x)の狭義単調減少性と平均値の定理の利用ということですね）

とてもスッキリしました。あまり確かに作業量は多いですが自分の別解を証明することができてうれしいです。ご協力ありがとうございました。

あと付け足しなのですが、ひとつ前の質問にある

私が質問した"示すべき不等式に等号が入ってますがF(P)=0となることは言えなくてもいいのですか？"について、F(p)＞0⇒F(p)≧0が真なので問題ないというのは理解しましたが、実際のところ
a=bのとき0＜p＜1の任意のpでF(p)=0…?@
を示しているので
a≠bのとき0＜p＜1の任意のpでF(p)＞0…?A
とにより
a,b＞0、0＜p＜1の任意のpにおいて
?@または?A⇔F(p)≧0…?B
となりませんか？

本問とは直接関係なくなってしまうのですが
?Bについて本当に同値なのかなと思って集合を使って示せないか試してみました。

a,b＞0かつa=bをみたす集合をA
0＜p＜1の任意のpでF(p)=0をみたす集合をB
a,b＞0かつa≠bをみたす集合をC
0＜p＜1の任意のpでF(p)＞0をみたす集合をD
a,b＞0をみたす集合をE
0＜p＜1の任意のpでF(p)≧0をみたす集合をF
とするとして
　(A∧B)∨(C∧D)⇔X∧Y
を示そうとしたのですが、うまくいきませんでした。根本的に間違っているようなきがするのですが…特に何の集合かわかっていないので…実数a,b,pの集合なのかな？

何度もすいません、変な質問かもしれませんがよろしくお願いします。

　
No.26248 - 2014/05/25(Sun) 16:11:15
☆ Re: 凸不等式の証明 / ハレゾラ
すいません書き間違えました。
　(A∧B)∨(C∧D)⇔E∧F
を示そうとした
です。
No.26249 - 2014/05/25(Sun) 16:37:57
☆ Re: 凸不等式の証明 / みずき
> a=bのとき0＜p＜1の任意のpでF(p)=0…?@
> a≠bのとき0＜p＜1の任意のpでF(p)＞0…?A

に基づけば、結論として、
『a,b＞0と0＜p＜1を満たす任意のpに対してF(p)≧0』
が言えます。

以上がまず一点。
で、

> a,b＞0、0＜p＜1の任意のpにおいて
> ?@または?A⇔F(p)≧0…?B
> となりませんか？

というのは、ちょっと意味がつかめません。

「a=bのとき0＜p＜1の任意のpでF(p)=0」が?@で、
「a≠bのとき0＜p＜1の任意のpでF(p)＞0」が?Aなんですよね。

分かりやすく書けば、

0＜p＜1を満たす任意のpに対して、
a=b＞0のとき、F(p)=0
a≠bかつa＞0かつb＞0のとき、F(p)＞0

ということです。
(たとえば、a=b＞0とF(p)=0は分離できませんよ)

私には、
> a,b＞0、0＜p＜1の任意のpにおいて
> ?@または?A⇔F(p)≧0…?B
> となりませんか？
をどのように解釈しても、←が示せるとは思いませんが。

（余談かもしれませんが、そもそも、もともとのF(p)はF(a,b,p)と表されるべきものです。
つまり、本来3変数なのですが、我々の方法では、
a,bを固定して、pだけを変数としてとらえているわけです。
ただし、結論を見ると、F(a,b,p)が0か正であるかは、
pに依存せず、a,bに依存していますから、
Fをpに関する1変数関数とみてしまうと意味が不明になると思います。
F(p)と書くと、あたかもF(p)がpの1変数関数のようですね。）

# ご質問がやや不明瞭なのは、以上の点がしっかり
つかめていないから、だと思うので。
以上のことを読んで、質問があればまたしてください。
No.26254 - 2014/05/25(Sun) 18:06:58
☆ Re: 凸不等式の証明 / ハレゾラ
回答ありがとうございます

> 分かりやすく書けば、
>
> 0＜p＜1を満たす任意のpに対して、
> a=b＞0のとき、F(p)=0
> a≠bかつa＞0かつb＞0のとき、F(p)＞0
>
> ということです。
> (たとえば、a=b＞0とF(p)=0は分離できませんよ)

a,b＞0、0＜p＜1の任意のpにおいて
「a=bのとき0＜p＜1の任意のpでF(p)=0…?@
または
a≠bのとき0＜p＜1の任意のpでF(p)＞0…?A」
⇔F(p)≧0
というのは、a.b＞0と0＜p＜1を大前提として考えました。この場合もまずいでしょうか？

> 私には、
> > a,b＞0、0＜p＜1の任意のpにおいて
> > ?@または?A⇔F(p)≧0…?B
> > となりませんか？
> をどのように解釈しても、←が示せるとは思いませんが。

よく考えると、この問題自体必要条件を求めればよかったですね。つまり⇔記号を⇒記号にすれば問題ないということでしょうか？

> （余談かもしれませんが、そもそも、もともとのF(p)はF(a,b,p)と表されるべきものです。
> つまり、本来3変数なのですが、我々の方法では、
> a,bを固定して、pだけを変数としてとらえているわけです。
> ただし、結論を見ると、F(a,b,p)が0か正であるかは、
> pに依存せず、a,bに依存していますから、
> Fをpに関する1変数関数とみてしまうと意味が不明になると思います。
> F(p)と書くと、あたかもF(p)がpの1変数関数のようですね。）

a,bを固定していることは意識していました。また、平均値の定理を用いているときもa,bは定数とみてf'(x)のy座標の大小をみてF'(0)やF'(1)の大小を調べ、結果的にa,bを変数とみる必要なくF(p)＞0を示せている。
というように考えていました。この思考で大丈夫でしょうか？

よろしくお願いします。
No.26257 - 2014/05/25(Sun) 19:18:51
☆ Re: 凸不等式の証明 / みずき
> a,b＞0、0＜p＜1の任意のpにおいて
> 「a=bのとき0＜p＜1の任意のpでF(p)=0…?@
> または
> a≠bのとき0＜p＜1の任意のpでF(p)＞0…?A」
> ⇔F(p)≧0
> というのは、a.b＞0と0＜p＜1を大前提として考えました。この場合もまずいでしょうか？

まずいですね。←は一般に偽です。
一応補足しておくと、a.b＞0と0＜p＜1を大前提としている、
ということは、
（a,b＞0、0＜p＜1の任意のpにおいて）
「a=bかつF(p)=0」または「a≠bかつF(p)＞0」⇔F(p)≧0
の方がより事態が見えやすいですね。

> よく考えると、この問題自体必要条件を求めればよかったですね。つまり⇔記号を⇒記号にすれば問題ないということでしょうか？

はい、その通りです。

> a,bを固定していることは意識していました。また、平均値の定理を用いているときもa,bは定数とみてf'(x)のy座標の大小をみてF'(0)やF'(1)の大小を調べ、結果的にa,bを変数とみる必要なくF(p)＞0を示せている。
> というように考えていました。この思考で大丈夫でしょうか？

大丈夫だと思います。
No.26258 - 2014/05/25(Sun) 19:31:42
☆ Re: 凸不等式の証明 / ハレゾラ
回答ありがとうございます。

> （a,b＞0、0＜p＜1の任意のpにおいて）
> 「a=bかつF(p)=0」または「a≠bかつF(p)＞0」⇔F(p)≧0
> の方がより事態が見えやすいですね。

ということは"〜のとき"というのと"〜かつ"というのを同一視してよいのですね。このこともはっきりとは理解できていなかったようです。

あと最後に、
（a,b＞0、0＜p＜1の任意のpにおいて）
「a=bかつF(p)=0」または「a≠bかつF(p)＞0」⇒F(p)≧0…(＊)
というような操作はいつも場合分けのとき何気なく行っていたのですが、今考えてみるとなぜ(＊)となるかわかっていません。(証明できません)

今までだと

（a,b＞0、0＜p＜1の任意のpにおいて）
a=bまたはa≠b⇔a,b＞0
かつ
F(p)=0またはF(p)＞0⇔F(p)≧0
よって（a,b＞0、0＜p＜1の任意のpにおいて）F(p)≧0

のように勝手に解釈していました。

前に質問したような集合記号を用いて(＊)を証明していただけないでしょうか？
つまり
（a,b＞0、0＜p＜1の任意のpにおいて）
「a=bを集合A,F(p)=0を集合B,a≠bを集合C,F(p)＞0を集合D,F(p)≧0を集合Eとして
　　(A∧B)∨(C∧D)⊂E
を示したいです。
No.26265 - 2014/05/25(Sun) 21:36:00
☆ Re: 凸不等式の証明 / みずき
> ということは"〜のとき"というのと"〜かつ"というのを同一視してよいのですね。

それは文脈によると思うので思い込まない方が良いです。
たとえば、｢AのときBを示せ｣という問題は、｢A⇒Bを示せ｣
という意味ですよね（つまり｢ならば｣の意味）。

一方、ある問題で場合分けが発生して（本問も同じ）
｢CのときD｣または｢EのときF｣ というのは、
｢CかつD｣または｢EかつF｣と同値です。
（たとえば、条件を満たす点を図示する問題の場合などは
こうして考えていますよね？）

上の2つは文脈によって容易に見分けがつくと思います。

> 前に質問したような集合記号を用いて(＊)を証明していただけないでしょうか？

今、C=A(バー),E=B∪Dですね。
A,B,Dのベン図（3つの輪が重なるように描く）で一目瞭然ですよ。
No.26266 - 2014/05/25(Sun) 23:48:10
☆ Re: 凸不等式の証明 / ハレゾラ
> それは文脈によると思うので思い込まない方が良いです。
> たとえば、｢AのときBを示せ｣という問題は、｢A⇒Bを示せ｣
> という意味ですよね（つまり｢ならば｣の意味）。
>
> 一方、ある問題で場合分けが発生して（本問も同じ）
> ｢CのときD｣または｢EのときF｣ というのは、
> ｢CかつD｣または｢EかつF｣と同値です。
> （たとえば、条件を満たす点を図示する問題の場合などは
> こうして考えていますよね？）
>
> 上の2つは文脈によって容易に見分けがつくと思います。

確かに、文脈によって違いますね。今まではなんとなく慣れで判断していたためこれからは意識するように気を付けます。

> > 前に質問したような集合記号を用いて(＊)を証明していただけないでしょうか？
>
> 今、,E=B∪Dですね。
> A,B,Dのベン図（3つの輪が重なるように描く）で一目瞭然ですよ。

確かめてみたところ確かにそうでした。C=A(バー)を忘れていたようです。

長い間質問に対応してくださり本当にありがとうございました。
No.26298 - 2014/05/26(Mon) 22:22:13
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